di Giuseppe Anichini*
Le strette relazioni tra statistica e matematica, attraverso l'esaltazione delle 'differenze', la descrizione dei 'punti di contatto' e la consapevolezza delle 'connivenze'. Davvero interessante per tutti i 'matematici' che non si occupano di statistica.
Ainsi, joignant la rigueur des demonstrations de la science
À l'incertitude du sort, . . . , elle peut, tirant son nom
des deux, s'arroger à bon droit ce titre stupéfiant:
La géometrie du hazard, Blaise Pascal
[Nel suo Adresse à l'Académie Parisienne, nel 1654. Seguendo la leggenda dell'Accademia
di Platone, nel 17-simo secolo la matematica era ancora "la geometria"].
È la metà del diciassettesimo secolo che la Statistica e il Calcolo delle Probabilità si affacciano nel mondo scientifico con Blaise Pascal, Pierre de Fermat, John Graunt: siamo in paesi diversi e di fronte, come diremmo oggi, a due matematici e un demografo. Da allora molto inchiostro è stato versato, un'enorme letteratura scientifica si è formata, "buone" definizioni sono state date e accettate, specifiche convinzioni e alcune robuste controversie resistono. Il volume ([4]) ci dice che, almeno scientificamente, Matematici e Statistici sono serenamente "confusi".
Matematica versus Statistica? Nella scuola la Statistica (insieme al Calcolo delle probabilità) è trattata usualmente dal docente di matematica; la scaletta naturale, partendo già dalla scuola primaria, dovrebbe comprendere la statistica descrittiva, la probabilità elementare, un'introduzione all'inferenza.
In tale ambito è necessario fornire un contesto significativo ai dati, opportuno e necessario punto di partenza della didattica della statistica: la presenza di un contesto reale e la necessità di una certa attenzione all'aspetto matematico, possono talvolta non "integrarsi".
Sono scusanti usuali (del docente): non posso usare molti dati perché ciò potrebbe nascondere la matematica oppure non posso andare nel dettaglio statistico perché gli studenti non sono capaci di lavorare con tanti dati e trarne le (usuali ?) conseguenze.
È notorio che l'approccio statistico e l'approccio matematico sono diversi, ovviamente non tanto per i contenuti ma per il modo di ragionare della Statistica e per il modo di ragionare della Matematica ([1], [2], [3], [7]). Tuttavia gli stessi che vedono tale "distanza" avvertono anche la necessità di lavorare nella direzione di una loro armonizzazione, ritenendo che il pensiero e lo strumento statistico, il pensiero e lo strumento matematico, siano, congiuntamente e parimenti, utili, sia nell'ambito scolastico, sia, in primis, nella vita sociale dello studente-futuro cittadino. È vero che finora gli sforzi fatti per introdurre curricula interdisciplinari hanno avuto scarso seguito, sia per una difficoltà intrinseca, sia per la questione – in Italia di carattere culturale – della "separazione" accademica (datata, sembra, dalla riforma Gentile) fra le due discipline. È necessario allora andare nella direzione "opposta": a tale scopo la focalizzazione di alcune differenze, di punti di contatto e, di qualche "connivenza", vuol essere, negli auspici di chi scrive, un contributo verso una integrazione didattico-scientica.
DIFFERENZE:
Induzione o deduzione? Questa è certamente la "differenza" più evidente: la Statistica è una disciplina induttiva, la Matematica (compreso il Calcolo delle Probabilità) è invece deduttiva. La caratteristica essenziale nel ragionamento induttivo è la sua generalizzabilità: dato un processo formato da alcune premesse e da una conclusione, quest'ultima riesce ad ampliare il contenuto informativo delle premesse stesse. Ne consegue peraltro che la veridicità delle premesse non ci garantisce quella della conclusione. Dire invece che un processo deduttivo è valido significa asserire che vi è una concatenazione logica fra le sue premesse e la conclusione, ovvero, se le premesse sono "vere", la conclusione non può essere "non vera".
Nei processi induttivi, ad es., se le premesse affermano che in 100 casi gli oggetti osservati hanno una proprietà α, allora si inferisce che il 101-simo oggetto che verrà osservato, probabilmente avrà la stessa proprietà e, da qui, che tutti gli oggetti che verranno osservati avranno probabilmente la proprietà α. L'avverbio "probabilmente" è essenziale: mentre la conclusione di un ragionamento deduttivo è sempre vera se le sue premesse sono vere, in un processo induttivo questa certezza (ovvero probabilità uguale ad 1) si riduce a un grado di fiducia inferiore (o uguale) ad 1.
Dimostrazione o "descrizione"? Qui vogliamo ricordarne alcuni esempi che, da una parte e dall'altra, possono essere paradigmatici.
1. poker Test: È π irrazionale? La risposta, positiva, è dura da dimostrare matematicamente (a livello di scuola secondaria). Questo test, nato nell'ambito della teoria dei numeri (pseudo)aleatori, cerca di darne un'idea, conteggiando la presenza di "ripetizioni" (cioè coppie, doppie coppie, tris, full, ...) in una successione di cifre { ad es., le prime 500 000 dello sviluppo di π- per evidenziarne la casualità, come nel gioco del poker. È possibile trovare una "dimostrazione" (della irrazionalità di π) che sia più semplice e "convincente"
2. Il Teorema Limite Centrale. I matematici e gli statistici lo enunciano talvolta in modo diverso: il TLC afferma che la distribuzione dello somma standardizzata di N variabili aleatorie converge, sotto certe ipotesi, alla distribuzione normale standardizzata per N → +∞.
La differenza sostanziale sta in quel "sotto certe ipotesi": per gli statistici (e per molti matematici) ciò significa variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media e varianza finite;
per i matematici "puri" significa variabili aleatorie indipendenti, con stime sul momento terzo; se è evidente che l'enunciato matematico è il più corretto (nel senso che si "spende meno" come ipotesi), è altrettanto ovvio che che la prima formulazione quella che viene usata nelle applicazioni (in cui l'identica distribuzione è un'ipotesi "fisica" naturale).
3. La definizione di indipendenza statistica, espressa da una formula matematica, è ben precisa e ben posta. Così come è facile dire se un triangolo è equilatero o meno, è altrettanto semplice rispondere alla domanda: I due eventi sono indipendenti o no? Magari a differenza della definizione matematica adesso siamo portati a riflettere (e non poco ...!) sul fatto che è la misura di probabilità che rende due eventi indipendenti o meno. (Ma anche la Geometria può essere non euclidea !).
CONTATTI:
L'errore salutare: nella matematica d'antan (ma ancora con tanti.... seguaci !) il risultato di un problema, di un'espressione, di un calcolo doveva essere un numero "esatto". Niente di più diseducativo: la matematica del cittadino cerca di fa capire che è opportuno partire da modelli (non statici, bensì dinamici) del vissuto sociale dell'allievo e che una buona pratica didattica consisterà nel fare in modo che gli allievi, per un dato problema, vengano sollecitati eventualmente a trovare modelli diversi e quindi a misurare, a stimare,..., scegliendo, poi, quello che comporta la soluzione più semplice e realistica ([5], [6], [8], [9], [10]). Si può, ad es., calcolare l'area di un'ellisse con un integrale o con una simulazione statistica: l'oggetto "misurato" non è allora più matematica o statistica oppure lo è entrambe: occorre riflettere per misurare e non misurare per riflettere. La consapevolezza dell'apprendimento viene affermata al di qua, non al di là della stima numerica, come metodo discorsivo e non (solo) come intuizione diretta dell'oggetto.
La lettura di un grafico: non vogliamo qui parlare dell'(abusato) tema delle "bugie" che nascono dalla lettura dei grafici in Statistica; è sufficiente riassumere il tutto nella frase I grafici non mentono, ma i mentitori usano spesso i grafici per ricordare la necessità di leggere i (dati ed i) grafici con un certo spirito critico (chi ha raccolto i dati, a quale scopo, quale la fonte, quale metodo di raccolta, come sono illustrati, ...). Vogliamo invece ricordare come, anche in Matematica, la lettura di un grafico è un argomento altrettanto complesso. Anche a livello di scuola secondaria di primo grado è facilissimo vedere come la stragrande maggioranza degli allievi non sa interpretare un andamento "esponenziale", né dovendolo disegnare né dovendolo leggere (talvolta sono le "parabole" le curve che sembrano salire più velocemente...!).
"CONNIVENZE":
Caso o determinismo? Laplace, scienziato determinista, diceva che le leggi fisiche possono avere molteplicità di risposte: pertanto o si ammetteva che uno stesso esperimento potesse dare esiti diversi, oppure si "parlava in matematichese", introducendo un vincolo che portava all'unicità della soluzione. Ma il principio di (indeterminazione di) Heisenberg escluse anche questa scelta; la meccanica quantistica introdusse una novità cruciale nel metodo sperimentale: non si poteva più parlare di causa-effetto ma solo della probabilità (di ottenere un certo risultato). La teoria doveva essere verificata sui grandi numeri: l'esperimento viene ripetuto per constatare che le possibili soluzioni si manifestano con la frequenza prevista dalla teoria: lo studio della realtà individua nell'inferenza il suo nocciolo duro. Lo stesso Einstein, che inizialmente rifiutò questa interpretazione, è stato poi colui che portò all'attenzione della comunità scientifica la matematica che sottostà al moto browniano, spingendo la fisica, oltre il laboratorio delle esperienze, nel campo dell'astrattezza matematica, attraverso la statistica e la probabilità. La probabilità (affrontare cioè lo studio quantitativo dell'incertezza) fa dunque da cerniera fra Matematica e Statistica.
Operazioni con i numeri: un esempio (dalla scuola primaria) semplice ed efficace. Si inizia a presentare le cose della Statistica con un mini questionario (sull'animale preferito, sulla squadra di calcio, sui fumetti,....) e relativa (mini)-elaborazione. Luigi ha risposto cane ed il cane ha avuto 7 risposte sui 23 bambini: ebbene in quel momento il 7/23 viene visto dal bambino come un fatto "suo"; ed esso è assimilato ed è facilmente scrivibile come numero decimale, come percentuale, oltre che come frazione in un contesto reale. La frazione, usualmente arduo salto cognitivo per i ragazzi, diventa qualcosa che ti appartiene.
Tutto ciò spetta al docente di Matematica e di Statistica, purché messo in grado, soprattutto a livello di formazione universitaria, di essere scientificamente e didatticamente ben "abilitato", in entrambe le discipline. Sarà suo patrimonio conoscere il ragionamento \quantitativo", la numeracy, l'uso corretto dei dati, il saper lavorare in modo interdisciplinare (considerando la disciplina queen and servant delle altre scienze).
In conclusione la Statistica ha una forza culturale che può validamente aiutare la Matematica, mentre la Matematica ha anche una forza di struttura che può dare "protezione" alla ricerca statistica.
Le società scientifiche nazionali stanno lavorando da più di un decennio in tale direzione ([5], [8], [9], [10]); remare è sempre faticoso: se la corrente volgerà a favore, il percorso sarà più agevole per tutti.
*Insegna Analisi Matematica presso la Facoltà di Ingegneria di Firenze - Segretario Unione Matematica Italiana.
Pubblicato il 4/2/2010
RSS
Fai una domanda
