di Laura Catastini*

L'astrazione matematica è faticosa, ma proprio per questo è formativa
La matematica come si è sviluppata nei secoli è una pratica innaturale per il nostro cervello: l'uomo non è mentalmente equipaggiato per la matematica scolastica, può sviluppare naturalmente un linguaggio, ma le sue abilità di base, naturali si limitano, per la matematica, a determinare la quantità in piccoli insiemi, capire relazioni tipo ‘più di' e ‘meno di', a usare parole per semplici operazioni di conteggio che si appoggino a dita e a varie parti del corpo. Solo grazie a simboli scritti e a un'istruzione formale i concetti matematici si sono potuti lentamente sviluppare e accumulare lungo i millenni, raggiungendo alti gradi di astrazione, e si sono potuti assemblare per formarne altri, sempre più complicati.
Tutto ciò non si ottenere senza fatica: "La matematica è spietatamente cumulativa, per l'intero percorso a ritroso, fino al sapere contare fino a dieci. […] Sottoposti a test matematici, i bambini americani ottengono i risultati peggiori di tutto il mondo industrializzato. Esercizi e pratica, le vie che portano all'automaticità, sono definiti meccanicistici e considerati nocivi per la comprensione, [ma] senza la pratica che sintetizza una sequenza incompleta di passaggi facendola diventare un riflesso mentale, l'allievo continuerà a costruire strutture matematiche a partire da da elementi minimi [...]. Se manca la consapevolezza di ciò che la mente è stata progettata per compirere nell'ambiente in cui ci siamo evoluti, l'attività innaturale chiamata istruzione formale ha poche probabilità di avere successo".(Pinker 2000)

La sua natura squisitamente teorica rende lo studio della matematica altamente formativo, addestra la mente alla lettura e alla decodifica di dense espressioni simboliche, a creare e a mettere in relazione complesse entità astratte partendo da loro definizioni verbali, addestra e rinforza la memoria di lavoro e la mette in grado di gestire la complessità simbolica della civiltà odierna.


Il cervello e la simulazione della realtà immersiva
Dai recenti studi sulla cognizione emerge che il pensiero, fin nelle sue espressioni più astratte, opera in maniera produttiva se riesce a rappresentarsi correttamente gli oggetti mentali mediante concrete attività simulative. Tali attività possono diventare difficili se applicate su oggetti astratti ma sono molto ricche e sorgono automaticamente quando si tratta di oggetti conosciuti per immersione nella vita reale, cioè mediante esperienze concrete. Il cervello già nella fase percettiva predice attingendo dalla memoria e formulando delle ipotesi. Presentando per esempio questa immagine e chiedendo cosa vi si vede, la risposta standard è ‘un uomo che scarica il carrello della spesa'.

Appare evidente che la percezione visiva non è un atto passivo ma si è risolta in una interpretazione dinamica – spesso inconscia – della situazione e delle finalità dell'azione, simulata all'interno di un quadro conosciuto: la presenza della parte posteriore di una macchina e l'esperienza di vita permettono di pensare a un'azione di ‘scaricamento' del carrello piuttosto che a una di ‘caricamento'.

Simulare efficacemente è essenziale per la salute psichica. Siamo evolutivamente costruiti per dominare l'ambiente attraverso continue previsioni e loro aggiustamenti. Quando questo non riesce e si fallisce ripetutamente nell'esecuzione di un compito, si sviluppano ansia, senso di impotenza e un abbassamento di autostima. Spesso la persona smette di tentare. Questo fenomeno negativo prende il nome di ‘impotenza appresa' (Catastini 2010).


Armonizzare astratto e concreto
Oggetti matematici astratti mal progettati – presentati e costruiti in modo da indurre a fraintendimenti – modelli mentali mal formati, scarse informazioni in merito e difficoltà di avere spiegazioni più chiare, mettono in difficoltà lo studente nell'utilizzare gli oggetti.

Gli enti matematici, che nascono astratti, possono essere armonizzati con la richiesta di concretezza che emerge naturalmente dalla nostra mente, se permettiamo agli studenti di partecipare al lavoro in modo immersivo, usando il corpo e il ragionamento come naturalmente avviene nella vita. (Catastini 2009)

L'interazione con i compagni e con l'insegnante nel processo di formazione di un concetto o di un oggetto matematico, mediata da un sistema complesso di segni e di strumenti culturali – linguaggio, comunicazione anche non verbale con i compagni, artefatti, uso di software di geometria dinamica – può essere un esempio di come costruire nello studente conoscenze e concetti ben simulabili.

Troviamo queste pratiche ‘concretizzanti' ad esempio nelle proposte di Radford, che nel 2004 ha seguito dei gruppi di giovani alunni canadesi mentre discutevano durante la ricerca di soluzione di un problema: prevedere come continuava la sequenza di figure costruite con stecchini e riportate qui sotto.

Le loro parole sono accompagnate, nella discussione, da indicazioni gestuali e linguistiche deittiche, elementi che contribuiscono a situare gli elementi del problema in una concreta realtà spazio-temporale, decodificabile con esattezza soltanto grazie al contesto e ai presupposti del discorso.

Radford descrive, fra l'altro, l'attività di due studenti: Josh e Judith.

Josh punta con la sua matita le figure, dalle quali cerca di far emergere il termine generale della successione, dicendo: ‘… C'è sempre il prossimo. Guarda!' e poi ‘1 più 2, 2 più 3 …'

Judith indica la figura 3 con l'indice e dice: ‘La prossima figura ne ha due di più di… guarda! [La figura] 6 è 13, 13 più due. Bisogna continuare così'

Josh, continua a puntare le figure con la matita e dice: ‘Ci si mette troppo! C'è sempre il prossimo. Guarda! 1 più 2, 2 più 3 … Aspetta un minuto. Sì, 3 più 4 fa 7; 4 più 5… dunque, è 27 più 26?'

Gli studenti, commenta Radford, hanno poi trovato la risposta senza contare il numero di stuzzicadenti di ogni figura, effettuando una generalizzazione corretta e elevando il loro lavoro al giusto grado di astrazione.

Armonizzare quindi richiede che esercizi e pratiche faticose non siano aboliti dall'insegnamento, ma che ad essi si affianchino il più possibile occasioni di apprendimento immersivo. Come afferma Goethe  "Chi ha davanti agli occhi un fenomeno pensa spesso al di là di esso; chi ne sente solo parlare non pensa affatto".



*Docente di Matematica e fisica presso l'Istituto statale d'Arte di Pisa "F. Russoli", dal 2000 distaccata presso l'Università di Roma 2, "Tor Vergata", per motivi di ricerca scientifica.



Pubblicato il 25/2/2010

di Laura Catastini*

L'astrazione matematica è faticosa, ma proprio per questo è formativa
La matematica come si è sviluppata nei secoli è una pratica innaturale per il nostro cervello: l'uomo non è mentalmente equipaggiato per la matematica scolastica, può sviluppare naturalmente un linguaggio, ma le sue abilità di base, naturali si limitano, per la matematica, a determinare la quantità in piccoli insiemi, capire relazioni tipo ‘più di' e ‘meno di', a usare parole per semplici operazioni di conteggio che si appoggino a dita e a varie parti del corpo. Solo grazie a simboli scritti e a un'istruzione formale i concetti matematici si sono potuti lentamente sviluppare e accumulare lungo i millenni, raggiungendo alti gradi di astrazione, e si sono potuti assemblare per formarne altri, sempre più complicati.
Tutto ciò non si ottenere senza fatica: "La matematica è spietatamente cumulativa, per l'intero percorso a ritroso, fino al sapere contare fino a dieci. […] Sottoposti a test matematici, i bambini americani ottengono i risultati peggiori di tutto il mondo industrializzato. Esercizi e pratica, le vie che portano all'automaticità, sono definiti meccanicistici e considerati nocivi per la comprensione, [ma] senza la pratica che sintetizza una sequenza incompleta di passaggi facendola diventare un riflesso mentale, l'allievo continuerà a costruire strutture matema...