Intervista a Rosetta Zan*

'La matematica è difficile perché è astratta'. Ricordiamo quest'affermazione sentita molte volte per chiederle: l'astrazione è una fonte di difficoltà intrinseca alla matematica?

La matematica per sua natura è astratta, in particolare prescinde dai contesti, che sono invece cruciali nell'esperienza di ognuno di noi. Il matematico deve possedere - possiede - capacità d'astrazione molto elevate: proprio questa sua caratteristica contribuisce a creare e alimentare lo stereotipo del ricercatore che non vede la realtà, immerso com'è nell'analisi delle relazioni fra oggetti, o addirittura delle relazioni fra relazioni fra relazioni… di oggetti, piuttosto che nell'analisi degli oggetti stessi. 

Questo aspetto della matematica, come altre sue caratteristiche (penso soprattutto al linguaggio che usa, e all'esigenza di rigore che la caratterizza) è indubbiamente un nodo - qualcuno parla di ostacoli epistemologici - che va tenuto presente quando si insegna questa materia. Potremmo anche dire che contribuisce a rendere 'problematico' il suo insegnamento. Ma la capacità d'astrazione (così come la padronanza del linguaggio matematico e il rigore) non può a mio parere essere considerata una condizione necessaria per l'apprendimento della matematica. È piuttosto uno degli obiettivi dell'educazione matematica, aggiungerei uno dei motivi per cui l'insegnamento della matematica viene ritenuto formativo e quindi imposto a un cittadino italiano in tutto il suo percorso scolastico. E' una conquista a posteriori, non un prerequisito.  

C'è quindi un'inversione dei tempi se si pone all'inizio quello che invece sarà un traguardo finale. Un'analoga inversione dei tempi si può riconoscere anche nella gestione delle difficoltà degli studenti da parte dell'insegnante, più precisamente nel suo processo di interpretazione del fallimento. Questo processo è indispensabile per poter progettare un'azione didattica di recupero adeguata, quindi l'interpretazione del fallimento dello studente precede – e non segue – l'intervento di recupero. E qui si assiste a quello che ho definito un rovesciamento dei tempi: la diagnosi 'non ha capacità di astrazione' non viene in genere considerata una diagnosi su cui fondare l'azione didattica ('cosa devo / posso fare per sviluppare queste abilità?'), cioè un'interpretazione del fallimento che dà indicazioni per l'intervento di recupero, ma piuttosto il momento finale di un'azione didattica che non ha funzionato, addirittura un alibi per la rinuncia all'intervento.

Se l'astrazione è un nodo dell'insegnamento della matematica, non credo che sia però il motivo per cui molti studenti provano avversione per questa disciplina o addirittura la rifiutano. In realtà quando lo studente (o anche l'ex studente) dice 'non mi piace perché è astratta' spesso fa riferimento non all'astrazione di cui parlavamo prima, ma a una percezione di distanza dalla realtà, e quindi di inutilità, che è cosa ben diversa.

Una maggiore concretezza, intesa come un maggiore collegamento con la realtà, potrebbe quindi prevenire le difficoltà degli studenti, e addirittura il loro rifiuto per la matematica?

In effetti si parla sempre più spesso della necessità di collegare la matematica con la realtà nell'insegnamento, per prevenire perdite di senso che poi sfociano in fenomeni quali quelli cui fa riferimento. Questo collegamento con la realtà viene in genere interpretato come l'inserimento di aspetti della realtà nelle attività matematiche che si propongono, quindi come un maggiore accento ai problemi di modellizzazione, e in generale ai problemi 'realistici'.

Concordo che strategie didattiche di questo tipo possano attrarre maggiormente alcuni ragazzi, e che comunque sia un obiettivo significativo in matematica promuovere abilità di modellizzazione. Ma non credo che il sottolineare l'utilità della matematica di per sé prevenga i fenomeni di cui abbiamo parlato: il fatto di considerare utile la matematica non necessariamente la rende più piacevole o appetibile. In una ricerca che abbiamo condotto attraverso il tema autobiografico 'Io e la matematica' sono moltissimi gli studenti che scrivono 'E' utile ma non mi piace'. Il fatto è che utilità della matematica e utilità del suo insegnamento sono cose ben distinte: ed è all'utilità del suo insegnamento che molti studenti non credono.  

Questo ci porta a individuare un altro modo di collegare l'insegnamento della matematica con la realtà, che ritengo – questo sì – irrinunciabile, e non semplicemente un'opzione per recuperare l'interesse di alcuni studenti: è il collegamento con la realtà degli studenti. Intendo collegamento con il loro linguaggio, con le forme di razionalità che funzionano benissimo per affrontare i problemi del loro mondo (e anche del nostro!), ma anche con le loro convinzioni, con la visione della disciplina e più in generale dell'apprendimento che hanno costruito, con le emozioni che associano a tali convinzioni, con i loro scopi, con il loro vissuto.

I teoremi di geometria sono considerati 'molto astratti' e costituiscono una fonte di notevoli difficoltà, specialmente all'inizio del biennio della scuola superiore. Molti sono gli studenti che continuano a confondere un teorema con il suo inverso o l'ipotesi con la tesi, anche se l'insegnante si affanna a rispiegare più volte per correggere l'errore. È possibile prevenire queste difficoltà?

Parto dal fondo della sua domanda. Uno dei punti cruciali è proprio quello che dice lei: 'l'insegnante si affanna a rispiegare più volte per correggere l'errore'. In quell'affanna è ben sintetizzato lo sforzo dell'insegnante, accompagnato da ansia, e direi da una scarsa fiducia che l'insegnante stesso ha imparato a nutrire nell'efficacia di questo sforzo… Ma in quale comportamento si concretizza questo sforzo? Come dice lei, nel 'rispiegare più volte'. Quel 'rispiegare più volte' non è l'unico comportamento che l'insegnante ha a disposizione. Inoltre è un comportamento che non è fondato su un'analisi attenta delle difficoltà. A questo proposito mi sembra molto espressiva la metafora della medicina. Immaginiamo un medico che di fronte a un disagio del paziente continua a dare la stessa cura, pur se la cura si è dimostrata inefficace (e non solo con quel particolare paziente, ma con molti di quelli che manifestano lo stesso disagio). Immaginiamo addirittura che il medico si lamenti del paziente, perché non ha risposto positivamente alla cura! Tutto questo ci appare – giustamente – paradossale. A quel medico ci verrebbe spontaneo dire: ma è sicuro che quella cura vada bene per la malattia del suo paziente? E' sicuro che la sua diagnosi sia corretta? Non sarà il caso di fare altri accertamenti?

Eppure è esattamente quello che succede a scuola quando 'l'insegnante si affanna a rispiegare più volte per correggere l'errore'.

Il fatto è che nella scuola c'è un sottile senso di moralismo (cosa ben diversa dal senso morale!) che ci fa sentire in pace con la nostra coscienza se in qualche modo 'soffriamo'. E come insegnanti non c'è dubbio che ci capiti di 'soffrire', in questo spiegare e rispiegare! Ma tutto ciò è ben lontano dalla razionalità nell'affrontare i problemi, che fra l'altro è uno degli obiettivi fondamentali dell'insegnamento della matematica… 

Nel caso specifico dei problemi che lei sottolineava – confondere un teorema con il suo inverso o l'ipotesi con la tesi – un processo di osservazione più sistematico e le conoscenze che la ricerca didattica ha prodotto permettono una diagnosi più precisa e al tempo stesso meno 'locale': la mancanza di senso che per molti studenti ha il linguaggio matematico, che viene percepito come un inutile fardello, invece che come strumento potente per affrontare e risolvere problemi.

Con una vera e propria educazione matematica che può e deve iniziare alla scuola elementare, attraverso attività significative  quali la produzione di congetture in risposta ad un problema, l'argomentazione per sostenere tali congetture e in generale le proprie posizioni, la comunicazione fra pari. Queste attività, in cui l'adeguatezza del linguaggio non è fissata a priori, ma è vista in relazione agli scopi che uno si pone, col passare del tempo evolveranno in attività più complesse quali appunto risolvere problemi, dimostrare teoremi.  

Quello che invece in genere caratterizza la pratica didattica è ben altro: l'insegnante spiega un frammento di teoria, illustra come applicare tale frammento ad esercizi addomesticati, e quindi propone agli allievi numerosi esercizi dello stesso tipo. Una volta imparata questa routine, gli aspetti teorici spariscono nell'ombra, come le istruzioni di un elettrodomestico dopo che abbiamo imparato ad utilizzarlo. Il linguaggio matematico è imposto artificiosamente, non collegato a scopi condivisi dagli studenti. In definitiva si introducono strumenti che vengono percepiti utili solo per fare cose percepite come inutili. 

E' questo – non l'astrazione della matematica – che produce perdita di senso, e quindi difficoltà.

*Docente presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Pisa

Intervista a Rosetta Zan*

'La matematica è difficile perché è astratta'. Ricordiamo quest'affermazione sentita molte volte per chiederle: l'astrazione è una fonte di difficoltà intrinseca alla matematica?

La matematica per sua natura è astratta, in particolare prescinde dai contesti, che sono invece cruciali nell'esperienza di ognuno di noi. Il matematico deve possedere - possiede - capacità d'astrazione molto elevate: proprio questa sua caratteristica contribuisce a creare e alimentare lo stereotipo del ricercatore che non vede la realtà, immerso com'è nell'analisi delle relazioni fra oggetti, o addirittura delle relazioni fra relazioni fra relazioni… di oggetti, piuttosto che nell'analisi degli oggetti stessi. 

Questo aspetto della matematica, come altre sue caratteristiche (penso soprattutto al linguaggio che usa, e all'esigenza di rigore che la caratterizza) è indubbiamente un nodo - qualcuno parla di ostacoli epistemologici - che va tenuto presente quando si insegna questa materia. Potremmo anche dire che contribuisce a rendere 'problematico' il suo insegnamento. Ma la capacità d'astrazione (così come la padronanza del linguaggio matematico e il rigore) non può a mio parere essere considerata una condizione necessaria per l...