Algebra non commutativa

algebra non commutativa

Sia F un campo, ovvero un corpo commutativo. Un insieme A è detto F-algebra (o algebra su F) se è uno spazio vettoriale sul campo F (per es., i campi ℚ, ℝ, ℂ dei numeri razionali, reali e complessi) munito in aggiunta di un’applicazione (moltiplicazione) F×F→F che sia bilineare, cioè lineare in ognuno dei fattori considerati separatamente:

(λx+μy)z = λ(xz) + μ(yz)

x(λy+μz) = λ(xy) + μ(xz)

per ogni x,y,z di A e per tutti gli ‘scalari’ λ e μ appartenenti a F. È uso comune richiedere che la moltiplicazione sia inoltre associativa, e si parla allora più precisamente di algebra associativa; qualora esista un elemento (indicato usualmente con la lettera I) tale che Ix=xI=x, l’algebra è detta con unità. Un’importante classe di algebre non associative è quella delle algebre di Lie. Non è affatto necessario che l’operazione di moltiplicazione sia commutativa, ovvero che xy=yx per ogni x,y di A: se quest’ultima condizione non è verificata, si parla di algebra non commutativa. Gli inizi dello studio di tali algebre sono in realtà strettamente legati all’elaborazione dell’algebra lineare, ovvero allo studio dei sistemi di equazioni lineari, e in particolare al nome del matematico inglese William R. Hamilton. Un esempio fondamentale di algebra (associativa ma non commutativa) è infatti costituito dall’insieme L(V) delle applicazioni lineari di uno spazio vettoriale V (su un campo F) in sé stesso; se V è di dimensione finita n, allora quest’algebra è isomorfa all’algebra delle matrici quadrate n×n a n righe e n colonne. Più in generale, non è difficile dimostrare che se A è una qualunque algebra con unità su un determinato campo F allora essa è isomorfa a una sottoalgebra di L(V′) per un qualche spazio vettoriale V′ sul campo F. Sottolineiamo che la dimensione di V′ non è necessariamente finita e coincide con quella dell’algebra A considerata come spazio vettoriale. Tale risultato rende evidente il ruolo universale delle algebre L(V): in esse si possono infatti trovare copie isomorfe di ogni algebra. Questo caso apparentemente semplice è stato il punto di partenza dello sviluppo di una delle più importanti applicazioni dell’algebra non commutativa, la teoria delle rappresentazioni lineari dei gruppi e delle algebre su spazi vettoriali. Lo studio del caso in cui la dimensione di V sia infinita e dotato di una particolare topologia (avviato da David Hilbert) costituisce uno dei capitoli fondamentali dell’analisi del XX secolo. Esso ha condotto allo sviluppo del concetto di algebra normata, di cui le C*-algebre e di von Neumann sono importantissimi casi particolari.

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