Àlgebra

algebra

àlgebra [Lat. algebra, der. dell'arabo al-giabr propr. "restaurazione", e quindi "riduzione" (dapprima nel signif. medico-chirurgico, e poi in quello matematico), che compare la prima volta in un trattato arabo del sec. 9°, di al-Huwa-rizmī- (v. algoritmo), nella frase ilm al-giabr wa l-muqa-bala "scienza delle riduzioni e comparazioni"] [ALG] Settore della matematica in cui le relazioni aritmetiche sono generalizzate, sviluppate e risolte, sulla base di regole determinate, mediante l'uso di simboli letterali che rappresentano numeri, quantità variabili o altre entità matematiche (per es., vettori o matrici); si distingue correntemente un'a. classica, che studia le operazioni proprie del calcolo letterale e in partic. la teoria delle equazioni o sistemi di equazioni con una o più incognite, e un'a. moderna, o astratta o generale, come teoria dei più generali sistemi algebrici, in cui si eseguono operazioni sugli elementi di uno o più insiemi da un punto esclusivamente formale, prescindendo dalla natura degli elementi stessi, e che comprende lo studio delle strutture algebriche (gruppi, anelli, ecc.) introducibili in un insieme: v. algebra. ◆ [ALG] A. al calcolatore: lo stesso che manipolazione algebrica (v.). ◆ [ALG] A. autoaggiunta: v. gruppi, rappresentazione dei: III 123 d. ◆ [ALG] [ELT] A. booleana: struttura algebrica costituita da un insieme di elementi (per es., tutti i sottoinsiemi di un insieme) dotato di due operazioni binarie e una unaria (nell'es., le operazioni di unione, intersezione e passaggio al complementare) verificanti determinate condizioni: v. circuiti logici: I 618 b. ◆ [ALG] A. C∗: v. algebre di operatori: I 94 e. ◆ [ALG] A. C∗ abeliana: v. algebre di operatori: I 94 f. ◆ [FSN] A. delle cariche, della densità di carica, delle correnti: v. corrente nella teoria dei campi: I 794 e. ◆ [ALG] A. delle forme esterne su V: v. forme differenziali: II 685 f. ◆ [ALG] A. di operatori: insiemi di operatori costituenti un'a. e definiti su determinati spazi: a. di Banach, di Hilbert, a. C∗, ecc.: v. algebre di operatori. ◆ [ALG] A. C∗ di tipo I: v. algebre di operatori: I 95 e. ◆ [ALG] A. C∗ liminare: v. algebre di operatori: I 95 f. ◆ [ALG] A. C∗ nucleari: v. algebre di operatori: I 95 f. ◆ [PRB] A. iniziale: v. probabilità quantistica: IV 597 b. ◆ [ALG] A. inviluppante: v. invarianti, teoria degli: III 286 e. ◆ [PRB] A. locale e a. del presente al tempo: v. probabilità quantistica: IV 597 a. ◆ [ALG] A. matriciale: v. algebre di operatori: I 96 e. ◆ [ALG] A. semisemplice: v. gruppi, rappresentazione dei: III 123 d. ◆ [ALG] A. su di un anello: un anello A è detto un'a. sull'anello associativo con identità O se per ogni coppia di o∈O, a∈A esiste un unico prodotto oa∈A e questa operazione di prodotto soddisfa le relazioni: (o₁+o₂)a=o₁a+o₂a, o(a₁+a₂)= oa₁+oa₂, o₁(o₂a)=(o₁o₂)a, o(a₁a₂)= (oa₁)a₂, 1a=a. I più noti esempi di a. sono le a. di matrici, le a. di polinomi e le a. di operatori: (v. algebra e algebre di operatori). ◆ [ALG] A. tensoriale: lo studio delle operazioni algebriche fra tensori: v. tensore: VI 122 e. ◆ [ALG] A. uniforme: v. algebre di operatori: I 94 d. ◆ [ALG] Teorema fondamentale dell'a.: afferma che un'equazione algebrica di grado n a coefficienti reali o complessi possiede esattamente n radici, purché si contino ciascuna con la propria molteplicità.