Area

Enciclopedia della Matematica (2013)

area


area in geometria, è la misura dell’estensione di una superficie espressa da un numero reale non negativo. Più precisamente, l’area di una superficie è il rapporto tra una regione bidimensionale dello spazio (la superficie stessa) e una superficie piana di riferimento, assunta come unità di misura. Nel SI l’unità di misura della superficie è il metro quadrato (m2 o mq), cioè un quadrato di lato 1 m. Altre unità di misura utilizzate sono i suoi multipli o sottomultipli: l’ettaro (ha), usato soprattutto per appezzamenti agricoli ed equivalente a 10.000 m2 (area di un quadrato di lato pari a 100 m); il chilometro quadrato (km2 o kmq), corrispondente a un milione di m2; il centimetro quadrato (cm2 o cmq): 10.000 cm2 equivalgono a 1 m2. Per calcolare le aree dei poligoni elementari si ricorre alle formule riportate nella tavola. L’area di un poligono qualunque può essere determinata scomponendo il poligono stesso in più triangoli ( triangolazione) e sommando le aree dei singoli triangoli. Per i triangoli esistono formule specifiche che ne forniscono l’area in funzione dei lati o di due lati e un angolo ( triangolo).

Area di una superficie piana a contorno curvilineo

L’area di un cerchio di raggio r è πr2; l’area di un’ellisse di diametri a e b è πab. Per una generica figura piana connessa delimitata da linee curve o miste, curve e rettilinee, l'area può essere determinata attraverso procedimenti di approssimazione. Per esempio, data una figura F, la si può considerare inserita in una quadrettatura del piano (determinata da una data unità di misura).

Si individuano allora due linee spezzate formate con i segmenti della quadrettatura, l’una tutta interna a F l’altra tutta esterna. Tali linee costituiscono il contorno di due poligoni (non necessariamente convessi) l’uno interno e l’altro esterno alla superficie considerata. L’area di F è compresa tra l’area a1 della figura poligonale inscritta e l’area A1 della figura poligonale circoscritta. Infittendo la quadrettatura, per esempio dimezzandone il lato, si ottengono altri due poligoni, l’uno inscritto, di, area a2, l’altro circoscritto, di area A2. Ripetendo più volte tale procedura (dimezzando cioè ogni volta il lato della quadrettatura) e calcolando ogni volta le aree ai dei poligoni inscritti e quelle Ai dei poligoni circoscritti, si ottengono due successioni, la prima delle quali è non decrescente (perché è sempre ai+1 ≥ ai) e la seconda non crescente (perché Ai+1 ≤ Ai). Le due successioni, che rappresentano rispettivamente approssimazioni per difetto e per eccesso dell’area di F, sono convergenti e la loro differenza An an può essere resa piccola a piacere. Il loro elemento di separazione è l’area della figura cercata.

Area di una superficie sottesa al grafico di una funzione

Se y = ƒ(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e in questo intervallo mai negativa, l’area della superficie delimitata dal grafico della funzione stessa, dall’asse delle ascisse e dalle rette di equazioni x = a e x = b, detta anche superficie sottesa al grafico (in grigio nella figura), è

formula

(si legge: «integrale da a a b di ƒ di x in dx»).

Se la funzione, in un intervallo, è continua e negativa, in tale intervallo l’integrale fornisce un valore negativo (detto anche area con segno) e quindi l’area, in senso proprio, è data dal valore assoluto di tale integrale. Per esempio, data la funzione seno, si ha

formula

perché l’area con segno positivo da 0 a π si somma con l’area di segno negativo e di valore opposto da π a 2π.

Area di una superficie tra due grafici

Se y = ƒ(x) e y = g(x) sono funzioni entrambi continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e in esso è sempre ƒ(x) ≥ g(x), allora l’area della superficie racchiusa dai grafici delle due funzioni e dalle rette di equazioni x = a e x = b è data da

formula

Se nell’intervallo non è sempre ƒ(x) ≥ g(x) (e quindi i due grafici si intersecano), occorre calcolare separatamente le aree delle diverse regioni individuate dai due grafici in quanto l’integrale definito restituisce non l’area, ma l’area con segno di una superficie.

Area di una superficie nello spazio tridimensionale

Per i solidi più elementari le formule per il calcolo delle superfici sono riportate in tabella.

Per l’area della superficie laterale di un solido di rotazione si veda la voce solido di rotazione.

Se la superficie è esprimibile come funzione di due variabili z = ƒ(x, y) differenziabile rispetto alle due variabili nel dominio base I, la sua area è:

formula

essendo

formula

le derivate parziali della funzione, rispettivamente, rispetto a x e y. Se la superficie è espressa attraverso equazioni parametriche x = ƒ1(u, v), y = ƒ2(u, v), z = ƒ3 (u, v), la sua area è:

formula

in cui ƒu × ƒv indica il prodotto vettoriale delle derivate parziali ƒi (con i = 1, 2, 3) rispetto a u e v.

Aree dei poligoni elementari
Formule per il calcolo delle superfici dei principali solidi
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TAG

Grafico di una funzione

Equazioni parametriche

Prodotto vettoriale

Solido di rotazione

Asse delle ascisse