ARITMETICA

ARITMETICA (IV, p. 362)

Negli ultimi decennî l'aritmetica superiore o teoria dei numeri è stata intensamente coltivata, in ispecie in Germania, nei paesi anglosassoni ed in Russia. Nella impossibilità di esaurire in ogni particolare il quadro del gran numero di ricerche compiute, ci si limiterà nel seguito ad accentuare a qualche problema ed a qualche risultato, tra i più significativi, relativo alla distribuzione dei numeri primi, alle approssimazioni diofantee, ai numeri trascendenti, alla cosiddetta geometria aritmetica, alla aritmetica additiva, ai problemi di Waring e Goldbach.

1. - Distribuzione dei numeri primi. - Secondo un celebre teorema di L. Dirichlet (IV, p. 371), esistono infiniti numeri primi della forma mx + n (con m, n, interi primi tra loro). Il numero di tali numeri primi non superiori a k è rappresentato asintoticamente da una funzione (analoga a quella che rappresenta asintoticamente, al crescere di k, il numero π (k) dei numeri primi non superiori a k (IV, p. 377); una maggiorazione dello scarto relativo, inizialmente data da C. de la Vallée Poussin, ha avuto recentemente un perfezionamento da parte di A. Walfisz (1935), che la rende, in un certo senso, uniforme rispetto alla ragione m della progressione aritmetica mx + n. La proposizione di A. Walfisz sostiene una parte essenziale nella soluzione del problema di Goldbach (v. sotto).

Altre ricerche sulla distribuzione dei numeri primi si riferiscono ai polinomi P(x) (a valori interi, ad es.) a coefficienti interi. Detto n un intero, s'immagini decomposto l'intero P(n) in fattori primi. È stato studiato l'andamento del massimo divisore primo e quello del numero dei divisori primi di P(n) al crescere indefinitamente di n (T. Nagell, C. Siegel, H. Rademacher, G. Ricci, ecc.).

2. - Approssimazioni diofantee e numeri trascendenti. - Il problema fondamentale della teoria delle approssimazioni diofantee è quello di approssimare un numero reale o complesso mediante una successione di numeri appartenenti a categorie aritmetiche prestabilite. Dopo che alla teoria ebbe a portare contributi classici H. Minkowski, la teoria si è molto sviluppata, affrontando anche il problema dell'approssimazione "simultanea" di più numeri.

La teoria delle approssimazioni diofantee ha particolare importanza per lo studio dei numeri trascendenti (II, p. 446). Lo studio dell'approssimazione dei numeri trascendenti richiede tuttavia alcuni strumenti elevati della teoria delle funzioni analitiche ed involge le proprietà aritmetiche dei loro sviluppi, il crescere del loro modulo, ecc. Per accennare ad alcuni risultati della teoria, giova dire che il problema posto da D. Hilbert nel 1900 di decidere circa la trascendenza o meno del numero α^β, essendo α e β algebrici (con α =⃓ 0, α =⃓ 1 e β irrazionale), è stato risolto (A. Gelfond, Th. Schneider), dimostrando che ad è trascendente. Sono così ad es. trascendenti

È stata studiata anche la natura di α^β con α e β trascendenti ed è stato introdotto un eoncetto di misura della trascendenza (J. F. Koksma, G. Ricci, K. Mahler, ecc.).

3. - Geometria aritmetica. - Una parte dell'aritmetica, che ha stretti rapporti con la geometria, è la "teoria dei reticoli".

Si dice reticolo (ingl. lattice, franc. rèsaux, ted. Gitter) l'insieme dei punti a coordinate intere in un piano (x, y), oppure in uno spazio (z, y, z), oppure in uno spazio ad n dimensioni (x₁, x₂, ..., x_n).

Si possono ora studiare le proprietà delle figure di estensione finita immerse in un reticolo. Un teorema classico di H. Minkowski afferma che ogni corpo convesso (ad n dimensioni), simmetrico rispetto ad uno dei nodi del reticolo, contiene almeno un altro nodo se il suo volume è maggiore di 2ⁿ. Da questo teorema geometrico si ricavano immediatamente notevoli proposizioni aritmetiche sui sistemi di forme lineari e sulle forme quadratiche. Tali teoremi trovano applicazione nella teoria dei corpi algebrici. I teoremi di H. Minkowski e certe questioni da lui poste sui sistemi di forme lineari hanno avuto, in epoca recente, numerosi perfezionamenti e generalizzazioni per opera di L. J. Mordell e della sua scuola, di K. Mahler, G. Hajos, J. van der Corput, H. Davenport, ecc.

In secondo luogo si possono studiare nella geometria aritmetica le proprietà asintotiche delle figure, immerse in un reticolo, al crescere indefinitamente delle figure stesse, ad es. in modo omotetico. Ricerche importanti in quest'ordine di questioni, la cui trattazione s'inizia con antichi lavori di K. F. Gauss e di L. Dirichlet, sono state più recentemente eseguite da W. Sierpinski, G. H. Hardy, E. Landau, J. van der Corput, A. E. Ingham, L. W. Nieland, E. C. Titchmarsh, L. K. Hua, V. Jarnik, ecc.

4. - Aritmetica additiva. - Il problema generale dell'aritmetica additiva si può oggidì enunciare al modo seguente. Siano {a} ed {N} due successioni crescenti:

di numeri interi assoluti: {a} si dice la successione degli addendi, {N} la successione dei ripartendi. L'intero N_n si dirà rappresentabile come somma di termini a_i se N_n = a_i1 + a_i2 + a_is; i termini a_i; potranno essere, oppure no, assoggettati a determinate condizioni (essere diversi, essere compresi in certi intervalli, ecc.). Due rappresentazioni si diranno coincidenti se differiscono soltanto per l'ordine dei termini. Detto r (n, s) il numero delle rappresentazioni distinte di N_n con s termini della successione {a}, si pone il problema di studiare la funzione r (n, s) dei due interi n ed s. Se ad es. r (n, 4) è sempre positivo, ciò significa che ogni intero N_n è rappresentabile come somma di quattro termini a;.

In questa formulazione così generale rientra come caso molto particolare il problema di Waring (IV, p. 376), il quale consiste nel dimostrare che ogni numero della successione 0, 1, 2, ..., n, ... è rappresentabile con al più s termini della successione 0^k, 1^k, 2^k, ..., n^k, ..., l'intero s essendo dipendente solo da k : s = g (k). In altre parole, detto W (N; k, s) il numero delle rappresentazioni distinte del tipo N = nk₁ + nk₂ + ... + nk_s si tmtta di stabilire che esiste un minimo intero s = g (k) tale che W (N; k; g (k)) ≥ 1.

Ciò era stato già dimostrato da D. Hilbert sin dal 1909. Ma, al di là di tale risultato di D. Hilbert, si presenta il problema della determinazione della funzione g (k) e di altre due funzioni G (k) e G₁ (k), che rappresentano rispettivamente: il minimo intero tale che ogni N abbastanza grande sia rappresentabile con al più G (k) potenze k-esime ed il minimo intero tale che quasi tutti gli N siano rappresentati con al più G₁ (k) potenze k-esime ("quasi tutti" nel senso che il numero degli interi non rappresentabili e minori di N, diviso per N, tenda a zero al crescere indefinito di N). È evidente che G₁ (k) ≤ G (k) ≤ g (k).

La determinazine di g (k) per k ≥ 7 è ottenuta da L. E. Dickson. La determinazione ad es. di G (k) per ogni k, nonostante penetranti ricerche di G. H. Hardy, J. E. Littlewood, I. M. Vinogradoff, non si è invece ancora potuta ottenere.

Nel problema generale dell'aritmetica additiva rientra anche il classico problema di Goldbach. Assunta come successione {a} la 1, 2, 3, ... n, ... e come successione {N} quella definita dagli interi primi p₁, p₂, p₃, ... p_n, ..., e detto G (n, s) il numero delle rappresentazioni distinte del tipo n = p_i1 + p_i2 + ... + p_is, il problema di Goldbach si riduce a provare che G (2n, 2) ≥ 1 per n ≥ 2 e che G (2n + 1,3) ≥ 1 per n ≥ 3. Le dimostrazioni di tali proposizione, delle quali la seconda è conseguenza ovvia della prima, non sono tuttora state ottenute nella loro integrità, nonostante la gran mole di ricerche ad esse dedicate. G. H. Hardy e J. E. Littlewood (1920) hanno "quasi" dimostrato la prima, nel senso che essi hanno dimostrato la proposizione in questione, subordinatamente però a certe proprietà non dimostrate ma presumibilmente esatte delle cosiddette funzini di Dirichlet. Per la seconda proposizione, Dopo molte ricerche di L. Schnirelmann, N. P. Romanoff, H. Heilbronn, E. Landau, P. Scherk, G. Ricci, il punto più avanzato è stato raggiunto (1937) da I. M. Vinogradoff, il quale, applicando i metodi dei predecessori, talune limitazioni sulle somme esponenziali ed un lemma di A. Walfisz, è arrivato a dimostrare che ogni intero dispari abbastanza grande è rappresentabile come somma di tre interi primi.

Bibl.: G. H. Hrady ed E. M. Wright, An Introduction to the Theory of numers, Oxford 1938, 2ª ed. 1945; G.H. hardy, Trois problèmes célèbres de la théorie des nombres, trad. A. Sallin, Parigi 1931; G. H. Hardy, Ramanujan, Cambridge 1940; A. E. Ingham, The distribution of Prime Numbers, Cambridge 1932; E. Landau, Über einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie, Cambridge, 1937; J. F. Koksma, Diophantische Approximationen, Berlino 1936; L. J. Mordell, Minkowski's theorems and hypotheses on linear forms in Comptes Rendus du Congrès International des Mathèm., Oslo 1936, vol. I, pp. 226-238; J. G. Van der Corput, Diophantische Approximationen, ibid., pp. 249-260; I.M. Vinogradoff, Nuovo metodo nella teoria analitica dei numeri (in lingua russa), in Travaux Inst. Mathém. Stekloff, 1937; G. Ricci, Sul settimo problema di Hilbert, in Annali della Scuola Normale di Pisa (2), vol. IV, pp. 341-371, 1935; G. Ricci, Ricerche aritmetiche sui polinomi, in Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, vol. 57, pp. 433-475, 1933 e vol. 58, pp. 190-207, 1934; G. Ricci, Problemi secolari e risposte recenti nel campo dell'aritmetica, in Atti del Convegno matematico, pp. 91-131, Roma 1942; G. Ricci, Il teorema fondamentale sulla distribuzione dei numeri primi, in Il Filomate, vol. I, pp. 1-14 e 90-99, 1948.