Armònica

armonica

armònica [s.f. Der. dell’agg. armonico]  ◆ [ANM] Ciascuno dei termini sinusoidali dell’analisi armonica di una funzione: prima a., o a. fondamentale, seconda a., terza a., ecc. (sottintendendo componente o funzione): v. analisi armonica: I 125 b.  ◆ [ANM] A. elementare: v. analisi armonica: I 126 f.  ◆ [ANM] A. sferiche: classe di funzioni definite sulla sfera unitaria (quindi su una sfera qualunque, tenendo opportuno conto del raggio di questa), che hanno notevole importanza nello studio di campi newtoniani o coulombiani a simmetria sferica, come capita in varie questioni di astrofisica e di geofisica (campi gravitazionali, campo geomagnetico), nonché nella teoria del gruppo delle rotazioni. (a) Formulazione generale. Si dimostra che se P_n(r) è un polinomio omogeneo e armonico di grado n nello spazio tridimensionale con coordinate cartesiane r=r(sinJcosl, sinJsinl, cosJ), la funzione U_n(r)=P_n(r)/r²ⁿ⁺¹ è anch’essa armonica. Le funzioni delle coordinate sferiche J (colatitudine) e l (longitudine) Y_n(J, l) = U_n(r)rⁿ⁺¹=P_n(r)/rⁿ dipendono allora solo dalla direzione e si dicono a. sferiche di grado n. Si dimostra che vi sono esattamente 2n+1 polinomi armonici, omogenei e indipendenti di grado n e, quindi, proprio 2n+1 a. sferiche indipendenti Y_nm. Nelle applicazioni si usa di solito la seguente rappresentazione reale delle a. sferiche: Y_n0(J, j)~P_n0(cosJ) e, per 0<m<n, Y_n^(c)_m(J, l)~P_nm(cosJ) cos(ml), Y_n^(s)_m (J, l)~P_nm(cosJ) sin(ml), dove P_nm(u) sono le funzioni associate di Legendre (reali). All’aumentare di n (il grado) e di m (l’ordine) aumenta la complessità delle a. sferiche, che hanno n-m zeri lungo un mezzo meridiano e m zeri lungo mezzo parallelo. Le a. sferiche generalizzano alla sfera le funzioni (1, cos(mj), sin(mj)) che costituiscono la base di Fourier per lo sviluppo in serie di funzioni definite sulla circonferenza: quelle si riducono a queste sull’equatore (J=p/2). Proprio come conviene spesso usare per le serie di Fourier la rappresentazione complessa exp(imj)=cos(ml)+isin(ml), con i unità immaginaria, così abbiamo per le a. sferiche la rappresentazione canonica: Y_nm(J, l)= N_nm P_nm(cosJ) exp(iml)=Y_n,-m (J, l); N_nm sono coefficienti di normalizzazione reali. Questa base è individuata da due numeri interi, n (da 0 all’infinito) e m (da -n a n); le sommatorie nel seguito sono limitate a questi valori. Le a. sferiche costituiscono una base completa e ortogonale per le funzioni sulla sfera unitaria, l’ortogonalità essendo definita rispetto alla media sulla sfera, con elemento di integrazione dW = sinJ dJdj: ∫dW Y_nm (J, l)Y_n'^*_m'(J, l)=4pd_nn'd_mm'. Questa relazione definisce anche (in modulo) i coefficienti di normalizzazione N_nm=(-1)^m(2n+1)^1/2 [(1+m)! /(1-m)!]^1/2; quindi, data una funzione f(J, l) sulla sfera, sono unicamente definiti e immediatamente calcolabili i coefficienti del suo sviluppo rispetto a questa base: f(J, l)=S_nS_m f_nm Y_nm(J, l); se f è reale, è f_nm= f_n^*_,-m. Questa rappresentazione complessa è necessaria per metterne in luce le proprietà gruppali e l’esteso uso nella meccanica quantistica: per es., le autofunzioni dell’atomo di idrogeno corrispondenti ai numeri quantici l (azimutale) e m (magnetico) sono proporzionali a Y_nm(J, l). (b) Formulazione nel campo reale; applicazioni astronomiche e geofisiche. Nelle questioni di astrofisica e di geofisica le a. sferiche sono usate in forma reale per esprimere lo sviluppo del potenziale U del campo in esame. Ponendosi in coordinate sferiche (r, J, l) con origine nel centro della sfera generica di raggio R (in partic., in ambito geofisico è la sfera con cui si approssima la Terra), l’equazione di Laplace ha l’espressione —²U∫r^-2 (∂/∂r)[r²(∂U/∂r)]+(r²sinJ)^-1(∂/∂J)[sinJ(∂U/∂J)]+ (r²sinJ)^-1(∂²U/∂l²)=0 e la sua soluzione generale, sempre nel campo reale, è U(r, J, l)=CR[S^n=∞_n=1 A⁽ⁱ⁾(J, l)(R/r)ⁿ⁺¹+S^n=∞_n=1 A^(e)(J, l)(r/R)ⁿ], cioè costituita da una serie di funzioni A⁽ⁱ⁾ e A^(e), che sono appunto le a. sferiche sulla sfera di raggio R, rispettiv. a. sferiche interne (^«i», corrispondenti al potenziale generato sulla superficie della sfera da sorgenti del campo interne alla sfera, precisamente poste nel centro della sfera) e a. sferiche esterne (^«e», sorgenti esterne alla sfera); come detto in generale dianzi, n è il grado e m è l’ordine della singola armonica; C è un coefficiente numerico che dipende dal sistema di unità di misura adottato. Si vede che la dipendenza dalla coordinata r è espressa mediante semplici coefficienti di potenza moltiplicativi e assai diversa per i due tipi di a., e precis. con legge (R/r)ⁿ⁺¹ per le a. interne e con legge (r/R)ⁿ per le a. esterne. Tale dipendenza ha importanza essenziale per quanto riguarda la natura delle sorgenti. Per i termini «interni» è immediato riconoscere che l’a. di grado minore, cioè per n=1, per la quale si ha (R/r)², rappresenta il contributo dato da una sorgente dipolare nel centro della sfera (in effetti, i1 potenziale di un campo di dipolo va come r^-2) e che, analogamente, l’a. di grado n=2 corrisponde a una sorgente quadripolare, quella di grado n=3 corrisponde a una sorgente ottupolare, e così via (va osservato che manca il termine di potenziale da sorgente polare, corrisp. al fatto che l’equazione di Laplace vale soltanto per campi a divergenza nulla, cioè privi di poli). Meno immediata è l’interpretazione del significato fisico dei termini «esterni»; considerando tali termini come derivanti da una generica distribuzione di poli esterna alla sfera, si riconosce anche qui che essi sono equivalenti a una serie di sorgenti esterne di rango crescente, però stavolta a partire da sorgenti polari, e poi dipolari, ecc. La dipendenza dalle coordinate angolari (colatitudine J e longitudine l) è invece la stessa per i termini interni ed esterni, e precis., omettendo gli indici ⁱ ed ^e, si ha A_n(J, l) = S^m=n_m=0 [g_nm cos(ml) + h_nm sin(ml)] P_nm(J), dove g e h sono detti coefficienti di Gauss, mentre P_nm(J) sono le funzioni di Legendre nominate prima; si tratta di polinomi di Legendre leggermente modificati in modo che l’entità di essi non svanisca troppo rapidamente al crescere del grado n, secondo la cosiddetta seminormalizzazione di Schmidt (per la loro espressione generale v. magnetismo terrestre: III 537 a); per es., i primi termini sono P₀₁=cosJ, P₀₂=(3cos²J-1)/2, P₁₁=sinJ); i termini per m=0 (P₁₀, ecc.) si chiamano a. zonali, mentre quelli per m≠0 si chiamano a. superficiali. La prima applicazione delle a. sferiche fu fatta da C.F. Gauss nel 1838 per riconoscere l’importanza relativa delle sorgenti interne ed esterne del campo geomagnetico e, nell’ambito di ogni categoria, dei vari tipi di sorgenti (dipolari, quadripolari, ecc.), operando sui dati allora disponibili come dati medi annui per l’anno 1835. Il procedimento, più volte replicato nel corso degli anni su dati sempre più numerosi e accurati, sino ai giorni nostri, è sintetizzato nel citato passo della voce magnetismo terrestre. ◆ [ANM] A. tesserale, zonale: termini dello sviluppo in a. sferiche del potenziale gravitazionale terrestre: v. meccanica celeste: III 672 f. ◆ [BFS]  [OTT] A. visive: quelle formate dall’organo della vista ed elaborate dal cervello: v. immagini visive: III 162 e.  ◆ [ANM] Numero di a.: il grado di una componente armonica.