Probabilita, assiomi della

Enciclopedia della Matematica (2013)

probabilita, assiomi della


probabilità, assiomi della assiomi che definiscono la teoria della probabilità come teoria matematica riconducibile alla teoria della misura. Tale impostazione assiomatica fu presentata da A.N. Kolmogorov nel 1933 e non ha carattere operativo (non è utilizzabile, cioè, per calcolare la probabilità di un evento); rispetto a tali assiomi della probabilità le diverse definizioni di probabilità (classica o a priori, frequentista o a posteriori, soggettivista) si caratterizzano come modelli che, applicati a contesti diversi, ne permettono il calcolo.

Per enunciare tali assiomi si considera un insieme Ω, che è uno spazio misurabile, ma in questo contesto è detto spazio campionario oppure insieme universo o, ancora, spazio degli eventi, dotato di una famiglia di sottoinsiemi Ei, detti eventi. In tale spazio è definita una funzione di probabilità P che a ogni evento E associa un numero reale, secondo i seguenti assiomi:

a) la probabilità assegnata a ogni evento E è un numero reale maggiore di o uguale a 0:

formula

b) la probabilità dell’intero spazio degli eventi rappresenta l’evento certo e la sua probabilità è uguale a 1, cioè P(Ω) = 1;

c) dati n eventi E1, …, En, sottoinsiemi dello spazio Ω a due a due disgiunti (e quindi rappresentanti eventi incompatibili), la probabilità della loro unione è la somma delle probabilità degli eventi dell’unione; si ha cioè: ∀i, j = 1, …, n, con ij,

formula

d) vale inoltre un principio di monotonia:

formula

Inoltre, dato un evento E, sottoinsieme dello spazio Ω, il suo sottoinsieme complementare rispetto a Ω definisce l’evento complementare di E, indicato con Ē (E soprasegnato). Se la probabilità dell’evento E è P(E) = p, la probabilità del suo complementare è P(Ē) = 1 – p. Di conseguenza, la probabilità dell’evento detto evento impossibile, che è il complementare dell’evento certo ed è associato al sottoinsieme vuoto ∅ dello spazio Ω, è P(∅) = 0.

Con gli assiomi precedenti lo spazio degli eventi assume anche il nome di spazio di probabilità. Se per esempio si lancia un dado, lo spazio degli eventi è: Ω = {1, 2, …, 6}, mentre, se si osserva il tempo intercorrente fra due chiamate successive a un centralino, si ha: Ω = {X : X ≥ 0}. Nel primo esempio lo spazio è un insieme discreto e contiene un numero finito di punti; nel secondo esempio lo spazio Ω è un insieme continuo. In quest’ultimo caso, anziché la probabilità puntuale si considera la densità di probabilità ( probabilità, densità di). Per esempio, ci si può chiedere quale sia la probabilità che il tempo tra due chiamate successive al centralino sia minore di 5 minuti e la probabilità di tale evento sarà indicata con P(0 ≤ X < 5). Partendo dagli assiomi precedenti, è possibile costruire per mezzo di sole deduzioni logiche la teoria matematica della probabilità e dedurne importanti teoremi quali per esempio il teorema della probabilità totale; il teorema della probabilità composta; il teorema di Bayes.

Va sottolineato che, se l’insieme universo Ω non ha cardinalità finita, non è opportuno considerare tutti i sottoinsiemi di Ω, cioè il suo insieme delle parti, ma è sufficiente limitarsi a una sua sottoclasse che costituisca un’algebra di insiemi o una σ-algebra ( sigma-algebra).

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Assiomi della probabilità

Teoria della → misura

Spazio di probabilità

Insieme delle parti

Teorema di → bayes