Commensurabilita

commensurabilita

commensurabilità proprietà per la quale due grandezze omogenee qualsiasi ammettono una misura comune e sono dunque «misurabili». Più precisamente, si definisce commensurabilità la relazione che si stabilisce tra due grandezze omogenee a e b quando è possibile trovare due numeri naturali non nulli h e k tali che si abbia ha = kb o, in modo equivalente, a/k = b/h. Se ciò si verifica, e quindi le due grandezze a e b sono dotate di sottomultipli comuni, sono dette grandezze commensurabili e il loro rapporto è dato dal numero razionale k/h. Se invece non è possibile trovare due numeri naturali h e k che soddisfino la precedente condizione, a e b, prive di sottomultipli comuni, sono dette grandezze incommensurabili e il loro rapporto è espresso da un numero irrazionale.

Coppie di grandezze commensurabili sono per esempio:

• i volumi di una piramide e di un prisma aventi la stessa base e la stessa altezza (il rapporto è 1/3);

• l’ampiezza di un angolo alla circonferenza e quella del corrispondente angolo al centro (il rapporto è 1/2).

Coppie di grandezze incommensurabili sono invece:

• la diagonale di un quadrato e il suo lato (il cui rapporto è il numero irrazionale √(2);

• la circonferenza e il suo raggio (il cui rapporto è il numero irrazionale π).

Nel caso di segmenti si dice che due segmenti AB e CD sono segmenti commensurabili se è possibile trovare un segmento EF, loro sottomultiplo comune, tale che AB = k · EF e CD = h · EF. Fin dall’antica Grecia, la scoperta di segmenti incommensurabili, e quindi la scoperta che un rapporto tra lunghezze potesse non essere espresso da un numero razionale, ha suscitato importanti riflessioni matematiche a sfondo filosofico.