Fase, diagramma di

fase, diagramma di

In matematica, strumento grafico utilizzato per studiare le proprietà dinamiche delle soluzioni di equazioni differenziali (➔ differenziale) o alle differenze finite (➔). In un modello economico, la soluzione di un’equazione differenziale o alle differenze finite, anche detta punto fisso, rappresenta una condizione di equilibrio economico, cosicché il diagramma di f. è utilizzato per studiare la stabilità dell’equilibrio stesso. Una soluzione si dice stabile se le variabili, partendo da un punto diverso, convergono verso di essa; in caso contrario, si dice instabile. Inoltre, se la convergenza è verificata per tutti i possibili punti di partenza, la stabilità è detta globale, altrimenti, se vale solo partendo sufficientemente vicino al punto fisso, è detta locale. Un diagramma di f. può essere unidimensionale, se si riferisce al movimento di una singola variabile fuori dell’equilibrio, ovvero bidimensionale, se studia la dinamica congiunta di due variabili.

Applicazioni del diagramma di fase

Due esempi molto noti di applicazione del diagramma di f. unidimensionale per l’analisi della stabilità riguardano: un equilibrio competitivo parziale (➔ equilibrio competitivo) nel breve periodo e un equilibrio di lungo periodo nel modello di crescita di Solow (➔ crescita). Un equilibrio competitivo, in un singolo mercato, è determinato dall’uguaglianza tra la domanda e l’offerta aggregate, ossia dall’intersezione delle due curve che descrivono, rispettivamente, le quantità domandate e offerte in funzione del prezzo. La curva di domanda è decrescente rispetto al prezzo, perché i consumatori reagiscono a un aumento di quest’ultimo riducendo il consumo del bene; al contrario, la curva di offerta è crescente, perché se il prezzo di vendita sale le imprese hanno incentivo a produrre di più. Si supponga che il prezzo iniziale sia inferiore a quello di equilibrio: si verifica allora un eccesso di domanda, che supera l’offerta, ossia esistono consumatori insoddisfatti, disposti a pagare un prezzo più elevato per ottenere una quantità addizionale del bene; di conseguenza, le imprese hanno incentivo a maggiorare i prezzi. Viceversa, se il prezzo è superiore al livello di equilibrio, c’è un eccesso di offerta e i prezzi tendono a diminuire. È possibile, quindi, descrivere questo processo di aggiustamento tramite una funzione differenziale del tipo p′(t)=a[D(t)−S(t)], dove p′(t), la derivata del prezzo p rispetto al tempo t, descrive il processo di aggiustamento del prezzo, D(t) e S(t) rappresentano, rispettivamente, la domanda e l’offerta, e a è un parametro positivo che determina la velocità di aggiustamento del prezzo in funzione dell’eccesso di domanda al tempo t, D(t)−S(t). L’equilibrio competitivo si ottiene quando domanda e offerta sono uguali, D(t)=S(t), e il prezzo non si muove, p′(t)=0. In questo caso, il diagramma di f. è estremamente semplice: partendo da valori inferiori al livello di equilibrio, il prezzo tende sempre a salire, e viceversa. Di conseguenza, l’equilibrio competitivo è globalmente stabile.

Un altro esempio molto noto è dato dall’equazione differenziale, che descrive l’evoluzione del livello del capitale pro capite nella teoria della crescita di R.M. Solow. Nel caso più semplice, essa è data da: k′(t)=sf(k)−δk, dove k è il capitale pro capite, s il tasso di risparmio, f(k) la funzione di produzione, ossia il livello del prodotto pro capite, e δ il tasso di deprezzamento del capitale stesso. Il livello del capitale di stato stazionario è determinato dal punto fisso associato all’equazione differenziale, che si ottiene quando k′(t)=0, ossia quando il risparmio per investimenti, sf(k), è pari alla perdita di valore del capitale esistente, δk. Sotto l’ipotesi standard di concavità della funzione di produzione, l’equazione ammette due soluzioni, una strettamente positiva k̄>0, e una degenere pari a 0 (tale che i valori di tutte le variabili sono nulli); inoltre, si verifica che il risparmio è sempre superiore al deprezzamento del capitale per tutti i valori di k inferiori a k̄, e viceversa sempre inferiore per i valori superiori a k̄. Di conseguenza, l’analisi del diagramma di f. assicura che, per ogni livello iniziale diverso da 0, l’evoluzione del capitale converge sempre verso lo stato stazionario k̄, che è quindi l’unico equilibrio (globalmente) stabile di lungo periodo. Al  contrario, la soluzione degenere nulla è instabile, perché basta una minima deviazione per divergere da essa.