Equazione di Vlasov

equazione di Vlasov

Equazione che descrive la dinamica di un sistema di particelle che interagiscono tra di loro con forze a lungo raggio. Esempi di sistemi che possono essere descritti dall’equazione di Vlasov sono i plasmi elettromagnetici e i sistemi gravitazionali a molti corpi (sistemi stellari). Nella derivazione di questa equazione si fa uso di una descrizione asintotica ottenuta prendendo formalmente il limite di un sistema con infiniti gradi di libertà. In questo limite ‘continuo’ l’interazione tra le singole particelle è approssimata con un’interazione di campo medio. I campi medi sono definiti, per un plasma elettromagnetico, dalle soluzioni delle equazioni di Maxwell in cui i termini di sorgente, cioè la densità di carica e la densità di corrente, non sono calcolati a partire dalla posizione e dalla velocità delle singole particelle discrete, ma da una funzione di probabilità. Questa funzione, detta funzione di distribuzione, rappresenta la probabilità f(t,x,v) di trovare una particella a un determinato istante t nella posizione (x,v) nello spazio delle fasi. Matematicamente l’equazione di Vlasov ha la stessa struttura dell’equazione di Liouville, che esprime la conservazione del volume nello spazio delle fasi durante l’evoluzione temporale di un sistema hamiltoniano. Nell’equazione di Vlasov la funzione hamiltoniana che descrive il moto delle particelle componenti il sistema dipende, attraverso il campo medio, dalla funzione di probabilità stessa. In altre parole, l’evoluzione temporale descritta dall’equazione di Vlasov non dipende solo da campi esterni assegnati, ma anche dai campi che le particelle stesse generano (evoluzione autoconsistente). Questa dipendenza rende l’evoluzione del sistema non lineare. L’equazione di Vlasov viene anche chiamata equazione di Boltzmann non collisionale, e si distingue dall’equazione di Boltzmann per l’assenza appunto degli effetti dovuti alle collisioni. In un sistema con interazioni a lungo raggio le collisioni rappresentano l’effetto della differenza tra i campi generati dalle particelle discrete e i campi medi. L’approssimazione di campo medio, che è alla base dell’equazione di Vlasov, è valida per sistemi con interazione a lungo raggio, sufficientemente rarefatti e in condizioni di elevata temperatura. La soluzione dell’equazione di Vlasov accoppiata alle equazioni di Maxwell è difficilmente ottenibile con metodi analitici; si fa quindi frequentemente ricorso all’integrazione numerica. Dall’equazione di Vlasov si possono derivare equazioni pseudofluide (le cosiddette equazioni dei momenti) che però incontrano difficoltà a livello della loro chiusura, dato che l’assenza (o la debolezza) dei processi di collisione impedisce di esprimere il tensore di pressione (cioè il momento di ordine 2 della funzione di distribuzione rispetto alla velocità) in termini della densità mediante un’equazione di stato di tipo termodinamico. In particolare, queste approssimazioni pseudofluide non permettono di trattare il fenomeno prettamente cinetico dell’interazione tra onde elettromagnetiche e particelle risonanti. Questo fenomeno dà luogo al cosiddetto smorzamento di Landau, che corrisponde a un processo non dissipativo di assorbimento dell’energia dei campi elettromagnetici.

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