Equazione differenziale alle derivate parziali

equazione differenziale alle derivate parziali

equazione differenziale alle derivate parziali equazione differenziale nella quale l’incognita dipende da due o più variabili, per cui le derivate sono appunto derivate parziali. Per esempio, poiché l’ordine di un’equazione differenziale è l’ordine massimo delle derivate che vi compaiono, la più generale equazione del secondo ordine nell’incognita u(x, y) in due variabili indipendenti ha la forma F(u_xx, u_xy, u_yy, u_x, u_y, u, x, y) = 0; mentre in n variabili, cioè nell’incognita u(x), x ∈ Rⁿ, ha la forma F(H(x), D(x), u, x) = 0, dove D(x) è il vettore delle derivate prime (→ gradiente) e H(x) è la matrice hessiana, formata dalle derivate seconde. Un esempio di equazione di forma generica è l’equazione di → Monge-Ampère.

Il problema di → Cauchy per un’equazione del primo ordine consiste nell’assegnare il valore dell’incognita u in corrispondenza di una linea Γ di equazione y = y(x) del piano (x, y), detta linea portante i dati: si impone cioè la condizione u(x, y(x)) = φ(x). Nel caso delle equazioni quasi-lineari del primo ordine in due variabili indipendenti, che hanno la forma P(x, y, u)u_x + Q(x, y, u)u_y = R(x, y, u), l’integrazione si riduce a quella del sistema di equazioni differenziali ordinarie

le cui linee integrali (dette caratteristiche), spiccate da un generico punto (x, y(x), φ(x)), giacciono sulla superficie u = u(x, y), detta superficie integrale. Se l’integrale generale del sistema si può scrivere nella forma implicita α(x, y, u) = costante e β(x, y, u) = costante, l’integrale generale dell’equazione differenziale è dato da F(α (x, y, u), β(x, y, u)) = 0, dove F è una funzione arbitraria.

Per un’equazione del secondo ordine, nel problema di Cauchy si dovrebbero assegnare le due derivate parziali ma, data la relazione u_x(x, y(x)) + u_y(x, y(x))y′ (x) = φ′(x), basta assegnarne una sola, o meglio, per garantire l’indipendenza, imporre il valore della derivata normale ∂u/∂n(x, y(x)) = ψ(x). Generalizzando a n variabili, si considererà una ipersuperficie portante i dati (per esempio, si veda l’equazione di d’→ Alembert). Particolarmente interessanti sono le equazioni quasi-lineari del secondo ordine, che, in due variabili, hanno la forma αu_xx + 2βu_xy + γu_yy = ω, dove i coefficienti α, β, γ e il termine noto ω sono funzioni delle variabili (x, y, u, u_x, u_y). L’equazione è lineare se essi dipendono solo da (x, y). Tale equazione viene classificata considerando l’equazione differenziale ordinaria αy′ ² − 2βy′ + γ = 0, le cui soluzioni sono dette linee caratteristiche dell’equazione differenziale assegnata. A seconda del segno del discriminante Δ/4 = β² − αγ, tale equazione fornisce due soluzioni distinte se Δ > 0, una soluzione doppia se Δ = 0, nessuna soluzione se Δ < 0; l’equazione viene rispettivamente detta iperbolica, parabolica o ellittica. Tale distinzione, se Δ = Δ(x, y), dipende in generale dal punto; le equazioni che cambiano natura in diversi domini di R² si dicono di tipo misto (→ Tricomi, equazione di). Nel caso generale è Δ = Δ(x, y, u, u_x, u_y), per cui le linee caratteristiche dipendono dalla soluzione stessa, e anche il tipo dell’equazione può cambiare a seconda della soluzione (→ aerodinamica transonica, equazione differenziale dell’).

Nel caso iperbolico, per ogni punto passano due linee caratteristiche. Il triangolo mistilineo T delimitato da tali linee e dalla linea Γ portante i dati si chiama dominio di dipendenza di P, perché la soluzione in P dipende solo dai dati sull’arco di linea individuato dalle linee caratteristiche stesse e dai valori del termine noto ω in T. Viceversa, a un punto Q si associa il suo dominio di influenza, delimitato dalle caratteristiche uscenti da Q; in tale dominio la soluzione dipende dal dato assegnato in Q, mentre fuori no. Le caratteristiche assumono così il significato di linee lungo le quali si propaga l’informazione, generalizzando l’idea di onda progressiva o regressiva tipica dell’equazione di d’Alembert, che è il prototipo di questo tipo di equazioni. Le equazioni iperboliche descrivono in genere, infatti, fenomeni di propagazione di tipo ondoso, con velocità di propagazione finita.

Nel caso parabolico, il cui prototipo è l’equazione del → calore, le linee caratteristiche coincidono. In questo caso il fenomeno descritto è quello della diffusione, che avviene con velocità infinita, nel senso che il dato iniziale influenza la soluzione in ogni punto del suo dominio.

Nel caso ellittico, il cui prototipo è l’equazione di → Laplace, non esistono linee caratteristiche. Ciò però non implica che ogni problema di Cauchy sia ben posto, perché anzi si mostra che in generale non sussiste la dipendenza continua dai dati. I problemi naturalmente associati alle equazioni ellittiche sono il problema di → Dirichlet e il problema di → Neumann, oltre a problemi misti. Le equazioni ellittiche sono associate a problemi fisici a carattere stazionario, cioè non dipendente dal tempo, e in particolare a problemi di equilibrio.