Equazioni cardinali

equazioni cardinali

equazioni cardinali in fisica matematica, equazioni che descrivono il moto globale di un sistema prescindendo dal comportamento e dalle reciproche interazioni delle sue varie parti. La prima equazione cardinale descrive il moto traslatorio di un sistema costituito di punti materiali (più precisamente il moto traslatorio del suo centro di massa): detta R la risultante di tutte le forze esterne agenti sul sistema e Q la quantità di moto totale del sistema, si ha

La seconda equazione cardinale descrive invece il moto rotatorio: se M è il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema calcolato rispetto a un polo O, P₀ il momento angolare totale del sistema calcolato rispetto allo stesso polo e v₀ la velocità istantanea del polo, si ha

(dove × indica il prodotto vettoriale). Tale seconda equazione assume una forma più semplice nel caso in cui il polo sia fermo, oppure coincida con il centro di massa del sistema oppure si muova parallelamente a questo. In tale caso, essa assume la forma più comune:

Tenendo conto che, per un sistema meccanico, il momento angolare totale P₀ risulta dato da I₀ω, dove I₀ è la matrice d’inerzia calcolata rispetto a un asse passante per il polo O e ω è la velocità angolare del sistema, la seconda equazione cardinale si può anche scrivere nella forma alternativa

Le equazioni cardinali sono particolarmente importanti perché da esse derivano immediatamente due fondamentali principi di conservazione; quello della quantità di moto e quello del momento angolare, entrambi validi in sistemi meccanicamente isolati, per i quali sia cioè R = 0 e M = 0. Se il sistema non è isolato, ma le forze esterne hanno momento nullo, allora si conserverà solamente il momento angolare. Viceversa se è nulla la risultante delle forze esterne, ma non il loro momento (per esempio nel caso di una coppia di forze uguali in modulo e antiparallele), si conserverà solamente la quantità di moto.