Foliazione

foliazione

Decomposizione di un oggetto geometrico n-dimensionale (una varietà) in termini di altri oggetti (sottovarietà) di dimensione più bassa, detti foglie. Più precisamente, si richiede l’esistenza di un ricoprimento di M^{[ in termini di insiemi aperti U_α sui quali siano definite coordinate locali x¹_α,...,x^{[_α:U_α⊂M^{[→ℝ^{[ in termini delle quali le foglie locali (le componenti connesse delle intersezioni tra le foglie e gli U_α) siano date dalle equazioni

Imponendo condizioni di regolarità (continuità, differenziabilità, analiticità) alla varietà M^{[ e alle coordinate locali sopra introdotte si ottengono foliazioni regolari (continue, differenziabili, analitiche). L’intero p è detto dimensione della foliazione, n−p codimensione. Per componenti connesse di un insieme si intendono qui sottoinsiemi tali che qualunque coppia di punti possa essere congiunta da una curva continua tutta contenuta in essi. La definizione sopra fornita dipende dagli intorni U_α ed è dunque di natura locale. Il passaggio da proprietà locali a proprietà globali è stato fin dall’inizio uno dei principali problemi della teoria delle foliazioni. D’altro canto, la creazione della stessa nozione di foliazione fu in parte stimolata dagli sviluppi della teoria dei sistemi dinamici, nel qual caso la varietà M^{[ è lo spazio delle fasi e la sua decomposizione in traiettorie distinte è una foliazione (con l’eccezione dei punti di equilibrio). Un ulteriore esempio di foliazione è fornito dalla decomposizione di un gruppo di Lie in classi laterali rispetto a un sottogruppo analitico. Infine, nel campo dei numeri complessi, le soluzioni di un’equazione differenziale dw/dz=f(z,w) con membro a destra analitico formano (se viste come coppie di soluzioni reali) una foliazione bidimensionale.

→ Geometria non commutativa