Funzione esponenziale

funzione esponenziale

funzione esponenziale funzione definita da x ↦ b^x per x nel campo reale e per ogni base b > 0, b ≠ 1, spesso indicata con exp_b(x). Essa risulta strettamente crescente se b > 1, strettamente decrescente se 0 < b < 1. Poiché b = e^lnb, essendo e il numero di Nepero, è sempre possibile scrivere b^x = e^{x lnb} e considerare solo la funzione esponenziale con base e, da cui le altre si ottengono con un cambiamento di scala delle ascisse (ed eventualmente una simmetria rispetto all’asse y, se 0 < b < 1). Vale l’uguaglianza

Le principali proprietà della funzione esponenziale sono:

• la regola degli esponenti e^x+y = e^xe^y;

• il limite notevole

• il comportamento all’infinito dato dai limiti,

validi per ogni n, per cui l’esponenziale è infinitesimo (per x → ‒∞) o infinito (per x → +∞) di ordine superiore a qualsiasi potenza di x;

• la derivata di e^x è e^x, e così la sua primitiva è ancora e^x + C.

La funzione esponenziale si estende al campo complesso mediante il suo sviluppo di → Maclaurin

Per essa continua a valere la regola degli esponenti e il limite notevole, mentre all’infinito essa ammette una singolarità essenziale. La funzione esponenziale si calcola in C mediante la formula di → Eulero:

Da questa si deduce che:

• il modulo di e^z è e^x, e quindi e^z non si annulla mai, neppure in C;

• l’argomento di e^z è y, e quindi e^z è periodica di periodo 2πi.

Le funzioni esponenziali a variabile complessa servono a definire le → funzioni iperboliche.