Illimitato

illimitato

illimitato aggettivo che può riferirsi a diversi oggetti denotando il fatto che, in qualche senso da specificare, essi non hanno “confini”.

☐ Per un numero reale, il suo sviluppo decimale si dice illimitato quando esso ha infinite cifre decimali, non tutte uguali a 0. Se in tale sviluppo, da una certo ordine in poi, ci sono soltanto cifre uguali a 0, si può trascurare di scrivere queste ultime perché non ne modificano il valore, e il numero è allora un numero decimale finito; se tra le cifre decimali ci sono una o più cifre consecutive, non tutte uguali a 0, che si ripetono all’infinito, il numero è illimitato periodico ed è un numero razionale; se nello sviluppo illimitato non ci sono cifre consecutive che si ripetono all’infinito, come per esempio nei numeri π ed e, il numero è illimitato non periodico ed è un numero irrazionale.

☐ In analisi, un intervallo di numeri reali (a, b) è illimitato se a oppure b oppure entrambi non sono numeri reali ma sono rispettivamente i simboli −∞ e +∞. Se l’intervallo non ha estremo inferiore (come quello definito da x < b) l’intervallo si dice illimitato inferiormente; se invece non ha estremo superiore (come quello definito da x > a) l’intervallo è illimitato superiormente. Analogamente, una funzione ƒ si dice illimitata su un sottoinsieme E del suo dominio se l’immagine ƒ(E) è un insieme illimitato; anche per le funzioni si distingue tra funzioni illimitate inferiormente e funzioni illimitate superiormente (→ insieme limitato; → funzione limitata).

☐ In geometria, una varietà di dimensione n in uno spazio è illimitata quando non ne esiste un bordo, cioè quando non esiste una varietà di dimensione n − 1 nell’intorno della quale ci sono sia punti appartenenti alla varietà data sia punti a essa non appartenenti. Mentre la sfera tridimensionale è una varietà limitata, avendo come bordo la sua superficie sferica, quest’ultima è una varietà bidimensionale infinita, perché ha infiniti punti, ma è illimitata perché priva di bordo.

Il concetto di «illimitato» non va confuso con quello di «infinito». Se un insieme numerico è finito allora è limitato, ma se è limitato esso può anche essere infinito, come mostra l’esempio dell’insieme delle frazioni positive con numeratore unitario U = {1, 1/2, 1/3, 1/4, …}. Esso è limitato perché ogni suo elemento x è tale che 0 < x ≤ 1, ma è infinito, perché ha cardinalità numerabile.