INDUZIONE

INDUZIONE

Enciclopedia Italiana (1933)
di Giovanni Vacca

INDUZIONE. - Matematica. - Si chiama principio d'induzione matematica, ovvero induzione completa, il principio seguente: "Se il numero 1 gode di una certa proprietà, e se si può dimostrare che se un numero n gode della stessa proprietà, la gode anche il suo successivo n + 1, allora questa proprietà è goduta da tutti i numeri".

Questo principio è considerato come un postulato dell'aritmetica da Robert Grassmann (1815-1901), fratello di Hermann (v.), in Lehrbuch der Arithmetik, Berlino 1861, e in modo più preciso e completo da G. Peano in Arithmetices Principia, Torino 1889.

Si è detto talvolta che esso dipende da un'infinità di sillogismi, poiché per dimostrare che la proprietà a cui ci si riferisce è goduta dal numero n, occorrono n sillogismi (poiché se 1 ha questa proprietà, l'ha pure il numero successivo 2, ecc.; cfr. H. Poincaré, in Revue de métaph. et de morale, II, 1894). Ma come era già stato osservato da A. De Morgan (Formal Logic, Londra 1847, p. 212), questo principio ha precisamente lo scopo di rendere inutili gl'infiniti sillogismi che occorrerebbe adoperare in sua vece. Così, ad es., F. Maurolico (Arithmeticorum libri duo, Venezia 1575), dimostra che la somma dei primi n numeri dispari è eguale al quadrato di n, nel modo seguente: poiché n2 + (2 n + 1) = (n + 1)2, se: 1 + 3 + 5 + . . . + (2 n − 1) = n2 anche 1 + 3 + 5 + . . . + (2 n + 1) = (n + 1)2. Perciò: 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, ecc. B. Pascal in una lettera a P. de Carcavy (1659) cita Maurolico per indicare il nuovo metodo di dimostrazione, da lui spesso adoperato. G. Bernoulli (Acta Eriditorum, 1686, p. 360) lo enuncia con maggiore generalità.

Nella teoria dei numeri, il principio d'induzione completa può essere sostituito da un altro introdotto da Campano da Novara (v.) e poi da P. Fermat nelle sue Osservazioni su Diofanto, il principio della discesa. Esso dice che: "se si riesce a dimostrare che una certa proprietà supposta vera per un numero intero e positivo è anche vera per un numero intero positivo più piccolo, allora tale proprietà non è goduta da nessun numero, poiché i numeri interi e positivi non decrescono indefinitamente". Il principio d'induzione completa è implicitamente adoperato da Euclide negli Elementi (VIII, 22) e il principio della discesa negli Elementi (VII, 31). Dopo Campano, M. Pieri (1908) propose nuovamente il principio della discesa come un postulato dell'aritmetica.

L'induzione incompleta della logica comune, cioè l'affermazione della verità d'una proposizione, verificata soltanto in molti casi particolari, può condurre a gravi errori. Così ad esempio L. Euler ha trovato che se: x = o, 1, 2, 3, ..., 39 allora x2 + x + 41 è un numero primo; così ancora se: x = 1, 2, 3, ..., 19, allora uno almeno dei due numeri 6 x − 1, 6x + 1 è un numero primo. Ma dopo 40 esperimenti nel primo caso e dopo 20 nel secondo, tali affermazioni non sono più vere.

Bibl.: H. Poincaré, Science et hypothèse, Parigi 1903, p. 19; R. Dedekind, Essenza e significato dei numeri, Roma 1926, p. 59; A. Padoa, La valeur et les rôles du principe d'induction mathématique, in Proc. of the V Math. Congr., Cambridge 1913, II, p. 471; G. Vacca, Sulla storia del princ. di induz., in Boll. di bibl. e st. mat., XII (1910), pp. 33-35; id., in Rev. de Mét. et de Morale, 1911, pp. 30, 252; id., Sul principio della discesa di Fermat, in Atti dell'Acc. di Torino, 1928, p. 241; M. Zapelloni, Sul princ. di induz., in Period. di mat., Bologna 1928; M. Pieri, Sopra gli assiomi aritmetici, in Boll. dell'Acc. Gioenia di Catania, 1908; J. Nicod, Le problème logique de l'induction, Parigi 1924.

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