Prodotto hermitiano

prodotto hermitiano

prodotto hermitiano in algebra, relativamente a uno spazio vettoriale complesso V, è una qualsiasi forma hermitiana su V che sia definita positiva. Esso generalizza il concetto di → prodotto scalare agli spazi definiti su C. Il prodotto hermitiano è perciò una qualsiasi applicazione (…, …): V × V → C che soddisfi le seguenti proprietà, dove u, u₁, u₂, v, v₁, v₂ indicano arbitrari elementi di V e dove a e b indicano arbitrari numeri complessi e la soprallineatura indica il numero complesso coniugato:

a) (au₁ + bu₂, v) = a(u₁, v) + b(u₂, v)

(linearità nella prima componente)

b) (u, av1 + bv2) = ā (u, v1) + b̄ (u, v2)

(antilinearità nella seconda componente)

(simmetria antilineare)

d) (u, u) > 0 per ogni vettore non nullo u

(positività)

La proprietà d) è ben posta, in quanto, grazie alla proprietà c), per ogni vettore u di V vale

Ciò vuol dire che (u, u) è un numero reale per ogni vettore u e dunque ha senso richiedere che esso sia positivo.

Uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano è detto uno spazio vettoriale hermitiano. Come il prodotto scalare nel caso reale, il prodotto hermitiano permette di definire nozioni metriche in uno spazio vettoriale complesso astratto: se infatti v è un vettore di V, si definiscono allora la sua norma, indicata con il simbolo ‖v‖, come il numero reale ‖v‖ = (v, v), e il suo modulo (vale a dire la sua lunghezza), indicato con il simbolo |v|, come il numero reale |v| = √(||v||): per la proprietà b), tali numeri sono positivi se e solo se v è diverso dal vettore nullo. Il prodotto hermitiano di due vettori u e v e i loro moduli sono legati dalla disuguaglianza di Schwarz (o di Cauchy-Schwarz): |(u, v)| ≤ |u||v|, dove l’uguaglianza vale se e solo se u = λv, per qualche numero complesso λ (→ Cauchy, disuguaglianza di). Due vettori u, v di V sono detti ortogonali (rispetto al prodotto hermitiano considerato) se (u, v) = 0; una base di V è detta ortogonale se i vettori che la compongono sono mutuamente ortogonali, è detta invece ortonormale se in aggiunta essi hanno tutti norma 1. L’esempio base di spazio vettoriale hermitiano è quello dello spazio vettoriale V = Cⁿ con il prodotto hermitiano canonico, definito da

dove u = (u₁, u₂, …, u_n) e v = (v₁, v₂, …, v_n) sono due vettori in Cⁿ: essa è la forma hermitiana associata alla matrice identità.