Serie di potenze

Enciclopedia della Matematica (2013)

serie di potenze


serie di potenze serie di funzioni della forma

formula

dove z = x + iy è una variabile complessa, z0 (punto iniziale della serie) un punto di C, insieme dei numeri complessi, e an sono coefficienti complessi. Per convenzione il termine (zz0)0 vale 1 anche in z = z0. Si dimostra che una serie di potenze converge assolutamente in un cerchio di convergenza, con il centro in z0 e con il raggio R dato dalla formula di Cauchy-Hadamard ( convergenza, cerchio di); essa può convergere anche in alcuni punti della circonferenza di convergenza |zz0| = R. Si usa dire che il raggio di convergenza è nullo se la serie converge soltanto nel suo punto iniziale e che è invece infinito se la serie converge in tutto il piano complesso.

Se il punto iniziale della serie è l’origine 0 (invece di z0) la serie di potenze assume la forma

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Se z è reale, il cerchio di convergenza si riduce a un intervallo di centro il punto iniziale (O se tale punto è l’origine).

Circa i criteri di convergenza per una serie di potenze, la convergenza è uniforme in ogni cerchio chiuso con centro in z0 e raggio r < R (teorema di Weierstrass). Vale inoltre il teorema di Abel, che stabilisce che se la serie

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avente raggio di convergenza R, converge in un punto z0 della circonferenza di convergenza, essa converge uniformemente in un settore circolare di vertice z0, limitato da due corde uscenti da z0 e interno al cerchio di convergenza. Il teorema ha interessanti applicazioni nel caso di z reale.

Entro il cerchio di convergenza, la somma ƒ(z) di una serie di potenze è una funzione analitica; la derivazione per serie è sempre lecita e la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza. Si verifica quindi che ƒ(z) è dotata di derivate di ogni ordine, e che risulta in particolare ƒ(n)(z0) = n!an, sicché la serie coincide con la serie di Taylor

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della sua somma. Il concetto di serie di potenze può essere esteso a funzioni di più variabili, che portano a serie multiple. Per esempio, per due variabili x e y si ha la serie doppia

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In tal caso la generalizzazione del cerchio di convergenza si configura come segue: esistono infinite coppie di numeri positivi R e R′, tali che per |xx0| < R e |yy0| < R′ la serie converge assolutamente; le coppie di cerchi che si trovano rispettivamente sul piano complesso della x e sul piano complesso della y costituiscono il cosiddetto sistema di cerchi di convergenza associati. Si può fare la derivazione per serie anche in questo caso e le serie derivate parziali hanno gli stessi sistemi di cerchi di convergenza associati.

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Formula di → cauchy-hadamard

Converge uniformemente

Criteri di convergenza

Converge assolutamente

Raggio di convergenza