Sistema di numerazione posizionale

sistema di numerazione posizionale

sistema di numerazione posizionale sistema di numerazione in cui i numeri sono espressi mediante un numero finito di simboli, detti cifre, che assumono un valore diverso a seconda della posizione occupata nel numero stesso. Il sistema di numerazione posizionale generalmente usato è il sistema di numerazione decimale o in base dieci, in cui si utilizzano dieci cifre con diverso valore a seconda della posizione (→ sistema decimale). Per esempio la rappresentazione decimale 120,34 significa «1 centinaio, 2 decine, 0 unità, 3 decimi, 4 centesimi» o, in simboli:

L’uso di 10 come base del sistema è probabilmente dovuto all’uso delle dieci dita per i primi elementari conteggi, ma per certi particolari scopi sono utilizzate basi diverse da 10 e nulla impedisce di usare come base un qualunque numero naturale b ≥ 2, ottenendo così un sistema di numerazione b-esimale.

Sistema di numerazione b-esimale

Si fonda su un sistema di b simboli da 0 a b − 1 (le cifre) con i quali si rappresentano i numeri; un allineamento del tipo (c_kc_k−1 ... c₀, c₋₁ … c_−h)_b, dove ogni c_i rappresenta una delle b cifre, indica il numero

Per ottenere la rappresentazione in base b del numero decimale a si effettuano successive divisioni della parte intera di a per b, e successive moltiplicazioni della parte decimale di a per b: i resti successivi della prima sequenza di operazioni sono le cifre della rappresentazione b-esimale della parte intera, in ordine invertito, mentre le parti intere dei successivi prodotti della seconda sequenza forniscono le cifre della parte frazionaria (le successive parti decimali sono usate per proseguire l’operazione). In particolare se b = 2 il sistema di numerazione è detto → sistema binario. Nell’uso corrente si evita la parentesi che racchiude la sequenza delle cifre e si pone a pedice la base secondo cui tale sequenza va considerata.

Sistema di numerazione ottale

Si fonda su un sistema di otto simboli (da 0 a 7). Ogni numero è espresso attraverso successive potenze di otto. Per esempio, il numero che nel sistema posizionale decimale è scritto come 125, scritto secondo le potenze di dieci è: 1 ⋅ 10² + 2 ⋅ 10¹ + 5 ⋅ 10⁰, mentre scritto secondo le potenze di otto è: 1 ⋅ 8² + 7 ⋅ 8¹ + 5 ⋅ 8⁰ , e quindi è scritto come 175₈ = 64 + 56 + 5 . Poiché 8 è una potenza di due, tale sistema di numerazione ha largo uso in informatica perché la trasformazione da sistema binario a sistema ottale e viceversa si effettua piuttosto facilmente. Infatti, dato un numero nel sistema binario, quale per esempio 10100101₂ (che nel sistema decimale si rappresenta con 165), basta considerare le cifre di tre in tre; a ogni gruppo di tre cifre binarie corrisponde una cifra del sistema ottale: 10100101₂ = 010 100 101₂. Poiché 010₂ = 2₈, 100₂ = 4₈ e 101₂ = 5₈, si ha 10100101₂ = 245₈ = 165₁₀.

Sistema di numerazione esadecimale

Il sistema in base 16, detto esadecimale, è particolarmente utilizzato in informatica (perché ha come base una potenza di 2 con esponente una potenza di 2). Esso utilizza 16 simboli di cui i primi dieci corrispondono alle cifre decimali da 0 a 9, mentre gli altri sono tratti dall’alfabeto e hanno i seguenti valori decimali: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. La conversione binario-esadecimale è facilitata dal fatto che 16 = 2⁴ e quindi ogni cifra esadecimale corrisponde a un gruppo di 4 cifre binarie. Per esempio 1101111₂ = 0110 1111₂ = 6F₁₆ = 6 ⋅ 16¹ + 15 ⋅ 16⁰ = 111₁₀.

Sistema di numerazione sessagesimale

Sistema di numerazione posizionale misto, usato per la misurazione del tempo e degli angoli in gradi. Per la parte intera si utilizza il sistema decimale; per la parte frazionaria si suddividono le unità in 60 minuti primi e questi ultimi ulteriormente in 60 minuti secondi (detti più brevemente secondi). Così 2h30′18″ indicano 2 ore, 30/60 di ora e 18/60 di minuto primo. Quindi, esprimendo tale misura nel sistema decimale, si ha:

Il sistema di numerazione sessagesimale è dunque tale che l’unità di un certo ordine risulti uguale a 60 unità dell’ordine immediatamente inferiore. Il sistema risale al ii millennio a.C. e trae origine, tra gli astronomi babilonesi, dall’osservazione della durata dell’anno e dal fatto che il numero 60 ha molti divisori. Lo sviluppo di strumenti di misura del tempo sempre più precisi, avvenuto in epoca moderna, ha fatto sì che le successive suddivisioni del secondo siano su base decimale (decimi, centesimi, millesimi… di secondo) dando così origine a un sistema misto alquanto scomodo da maneggiare.