Spazio Lp(Ω)

Enciclopedia della Matematica (2013)

spazio Lp (O)


spazio Lp(Ω) con Ω sottoinsieme misurabile di Rn, spazio vettoriale delle funzioni ƒ misurabili secondo Lebesgue per le quali l’integrale

formula

Se p ≥ 1, lo spazio è normato, con norma

formula

e completo in tale norma e quindi è uno spazio di Banach. Se p ∈ (0, 1), lo spazio è ancora vettoriale, ma l’espressione precedente non rappresenta una norma, perché non è soddisfatta la disuguaglianza triangolare. Lo spazio L(Ω) costituito dalle funzioni essenzialmente limitate è di Banach con norma

formula

La notazione «ess sup» che compare nella formula indica l’estremo superiore essenziale della funzione |ƒ(x)|, cioè l’estremo superiore a meno di un insieme di misura nulla:

formula

Si osserva che gli elementi di Lp sono in realtà classi di equivalenza di funzioni rispetto alla relazione di uguaglianza quasi ovunque (q.o.), cioè s’intendono equivalenti due funzioni che coincidono, escluso al più un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. Se 1 ≤ pq ≤ ∞ e Ω è limitato, risulta Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω), con immersione continua; altrimenti non esiste alcuna inclusione. Tuttavia se xLq(Ω) ∩ Lp(Ω), allora xLr(Ω), per ogni r ∈ (p, q).

Se p e p′ soddisfano l’uguaglianza

formula

essi si dicono esponenti coniugati; per p < ∞ il duale di Lp(Ω) è Lp(Ω), e quindi se 1 < p < ∞ gli spazi Lp sono riflessivi. Se g ∈ Lp, risulta

formula

( Hölder, disuguaglianza di). In particolare, lo spazio L2(Ω) è uno spazio di Hilbert.

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