Spazio proiettivo

spazio proiettivo

Dati due insiemi P,Q e una relazione R⊂P×Q, consideriamo la tripla C={P,Q,R} e chiamiamo ogni elemento di P un punto e ogni elemento di Q una linea. Se (p,l)∈R è valida per un punto p e una linea l, si dice che la linea l contiene il punto p. Se due linee contengono uno stesso punto p, si dice che esse si intersecano in p. Quando più punti sono contenuti in una stessa linea, essi sono detti collineari, quando molte linee contengono un punto esse sono dette concorrenti. In geometria proiettiva sulla tripla C sono imposti i seguenti assiomi: (a) esiste una e una sola linea che contiene due punti distinti; (b) dati i punti non collineari p₁,p₂ e p₃ e i punti q₁ e q₂ tali che {p₁,p₂,q₁} e {p₁,p₃,q₂} sono triple collineari, le linee passanti per p₂,p₃ e q₁,q₂ si intersecano in un punto p; (c) ogni linea contiene almeno tre punti distinti. Una tripla C che soddisfi gli assiomi (a) e (b) è detta geometria proiettiva generalizzata, se anche (c) è verificato si parla allora di geometria proiettiva. L’insieme di tutti i punti contenuti in una linea è detto immagine puntuale e la linea stessa è detta base. In geometria proiettiva esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle linee e quello delle immagini puntuali e quindi una linea l∈Q può essere considerata come un sottoinsieme di P. La relazione (p,l)∈R significa allora propriamente che il punto p appartiene alla linea l. Sia ora S un sottoinsieme di P e siano p₁, p₂ due punti in S. Se l’intera linea passante per essi è contenuta in S allora S stesso è detto sottospazio di P. Punti e linee sono evidentemente sottospazi. Talvolta si impone a C un ulteriore assioma: (d) Esiste un insieme infinito di punti tale che ogni sottospazio che li contiene contiene P stesso. Una geometria proiettiva che soddisfi (d) è detta finito-dimensionale e in questo caso l’insieme P è detto spazio proiettivo. Consideriamo ora successioni di sottospazi del tipo P/⊇P_n−1/⊇.../⊇P₀≠∅, dove ∅ indica l’insieme vuoto e le inclusioni sono strette. Il numero n della più breve di tali successioni è detto dimensione dello spazio proiettivo P. Un sottospazio di dimensione 1 è una linea, un sottospazio di dimensione 2 è detto piano proiettivo. Gli esempi principali di spazi proiettivi n-dimensionali sono gli insiemi ℙⁿ(ℝ) (rispettivamente ℙⁿ(ℂ)) di tutte le linee reali (rispettivamente complesse) passanti per l’origine di ℝⁿ⁺¹ (rispettivamente ℝⁿ⁺¹).

→ Invarianti, teoria degli