Tassellazione

tassellazione In geometria, configurazione costituita da poligoni che ricoprano l’intero piano, senza sovrapporsi a due a due; il termine è usato, con significato analogo, anche nella geometria dello spazio.

Particolare interesse hanno assunto, per le loro applicazioni alla cristallografia, le t. periodiche , ossia quelle costruite ripetendo indefinitamente una cella elementare di base. Esempi di t. periodiche del piano sono riportate in fig. 1. Nel piano, si possono costruire t. periodiche utilizzando come cella elementare un poligono regolare solo nel caso in cui tale poligono sia un triangolo equilatero, un quadrato o un esagono regolare; si può, per es., dimostrare che non è possibile costruire una t. periodica a simmetria quinaria. È questa la versione bidimensionale del teorema fondamentale della cristallografia.

La scoperta di sostanze che presentano configurazioni di diffrazione a simmetria quinaria, dette quasicristalli, ha risvegliato un grande interesse per lo studio delle t. del piano e dello spazio. Un esempio bidimensionale di t., che sembra essere il candidato ideale come modello di quasicristallo, è la cosiddetta t. di Penrose . Essa è costruita a partire da due celle elementari costituite da rombi aventi lato unitario e angolo acuto, rispettivamente di 36º e 72º. Sebbene esistano t. di questo tipo periodiche, si può dimostrare che è possibile ricoprire il piano con questi due tipi di rombi in modo non periodico. Un esempio di t. di Penrose con le relative celle elementari è riportato in fig. 2. In accordo con il teorema fondamentale della cristallografia, le t. di Penrose che presentano una simmetria quinaria, pur avendo un aspetto piuttosto regolare, sono non periodiche; tuttavia la loro simmetria permetterebbe di spiegare, almeno in questo esempio bidimensionale, le configurazioni di diffrazione che violano il teorema fondamentale della cristallografia. In dimensione maggiore di due, e in particolare nel caso tridimensionale, si conoscono varie t. analoghe a quella di Penrose, che presentano a intervalli quasi regolari delle celle fondamentali di forma icosaedrica. Sebbene le t. non periodiche siano considerate un buon modello per spiegare le configurazioni di diffrazione a simmetria quinaria, vi sono ancora aspetti della teoria dei quasicristalli non completamente compresi. Un problema ancora aperto, per es., è quello dell’estensione della correlazione spaziale nei quasicristalli: a differenza di quanto avviene in un cristallo periodico, in cui la correlazione si estende indefinitamente, nelle strutture quasiperiodiche ci si aspetterebbe che essa decada su distanze dell’ordine, al più, di qualche decina di volte la distanza tipica fra le particelle. Si ottengono sperimentalmente, invece, dei quasicristalli in cui le correlazioni si estendono per parecchi millimetri, come se essi fossero strutture periodiche.