Teorema ergodico

teorema ergodico

teorema ergodico teorema della teoria ergodica. Poiché l’aggettivo ergodico si attribuisce a un processo in cui la media nel tempo delle grandezze fisiche che lo descrivono coincide con la media calcolata su un insieme di stati in cui il processo può trovarsi, è possibile distinguere i processi dinamici tra quelli che convergono “deterministicamente” verso un esito, detti appunto ergodici, e quelli la cui evoluzione è influenzata da eventi casuali ineliminabili, i non ergodici. Nello studio dei processi stocastici, si dice, quindi, ergodico, un processo che, dopo un periodo di evoluzione iniziale, tende a una fase stazionaria in cui assume un andamento regolare. Le condizioni sotto le quali un processo è ergodico sono date da alcuni teoremi detti teoremi ergodici.

La teoria ergodica nasce nell’ambito della meccanica statistica; l’aggettivo ergodico fu introdotto dal fisico Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906) relativamente ai sistemi meccanici complessi che, nella loro evoluzione, assumono gli stati dinamici microscopici compatibili con il loro stato macroscopico. Essa si è successivamente estesa alla teoria della misura con lo studio delle trasformazioni di uno spazio in sé stesso tali che le funzioni x_n(k), dove k è elemento dello spazio, ottenute applicando n volte la trasformazione, abbiano proprietà di convergenza, secondo i vari tipi di convergenza definiti nel calcolo delle probabilità. Nella forma più strettamente probabilistica, la teoria ergodica stabilisce infatti le condizioni secondo cui le medie aritmetiche di una successione di variabili aleatorie convergano a un numero “certo”, cioè non aleatorio (→ Boltzman, equazione di).

In teoria della misura, la denominazione di teorema ergodico è in modo specifico attribuita alla proprietà formulata dal matematico statunitense G.D. Birkhoff, che per un sistema dinamico collega le medie di tempo e di spazio, asserendo che se T è una trasformazione che conserva la misura su uno spazio misurabile X (→ misura, teoria della) e se ƒ è una funzione sufficientemente regolare, allora la media di ƒ sulle iterazioni di T a partire da qualche punto iniziale x (media temporale) e la media sullo spazio delle fasi di ƒ (media spaziale) sono uguali se il sistema è ergodico, mentre non lo sono nel caso di sistema non ergodico.