VETRI DI SPIN

Enciclopedia Italiana - V Appendice (1995)

VETRI DI SPIN

Miguel Angel Virasoro

Possono essere definiti come insiemi di magneti elementari (spin) le cui interazioni sono, a caso, ferromagnetiche o antiferromagnetiche secondo una legge di probabilità ben definita. I primi materiali di questo tipo furono costruiti da L. Neel intorno al 1932 diluendo un metallo di transizione magneticamente attivo (per es. ferro) in una matrice nobile (per es. oro o argento) con concentrazioni intorno all'1%. L'interazione fra gli spin del primo si trasmette attraverso gli elettroni liberi del secondo producendo un'interazione forte e di segno variabile.

Ad alta temperatura il comportamento del v. di s. non differisce da quello di un qualsiasi altro materiale magnetico. Invece, quando la temperatura scende sotto un certo valore specifico, appaiono nuovi effetti analoghi a quelli del vetro: la risposta a un campo magnetico esterno diventa molto lenta e lo stato del sistema dipende dalla storia precedente (effetti d'isteresi). Lo stato di equilibrio sembra irraggiungibile, come confermano i cosiddetti esperimenti d'invecchiamento: le osservazioni dimostrano che la velocità con la quale il sistema si allontana da una certa configurazione di partenza è inversamente proporzionale al tempo di preparazione dello stato iniziale. Più si aspetta che il sistema si equilibri, più lenti diventano i processi di rilassamento. Non è possibile, dunque, caratterizzare il cambiamento di regime con la temperatura come una vera transizione di fase corrispondente a un cambio dello stato di equilibrio. Solo quando il campo magnetico esterno è zero esiste una transizione di fase che corrisponde però all'apparizione di magnetizzazione spontanea locale. A causa del disordine, questa magnetizzazione ha media zero in un volume finito e può essere osservata solo attraverso esperimenti di diffusione di neutroni.

La fenomenologia del comportamento vetroso, in particolare l'invecchiamento, evidenzia la presenza di molti stati di vita media lunga rispetto alla scala di tempo di osservazione, ma è difficile concludere se, nel limite di volume infinito, la vita media di alcuni di questi tenda effettivamente a infinito. L'energia, come funzione delle configurazioni di spin, descrive una superficie molto irregolare. Essa ha numerose valli separate da barriere di altezza variabile. Quasi letteralmente, le barriere che circondano la valle dove si trova il sistema nascondono quelle più alte ma più lontane. I processi di rilassamento lenti impediscono, sia sperimentalmente, sia nelle simulazioni numeriche, di conoscere il vero stato di equilibrio.

Il vetro di spin come archetipo di sistema complesso. - Il v. di s. è il più semplice di una classe nuova di sistemi dove il disordine appare strutturale. Il suo comportamento è talmente ricco che è diventato il modello privilegiato della meccanica statistica nello studio dei sistemi complessi (v. caos e complessità, in questa Appendice). In particolare una certa approssimazione a esso, il cosiddetto modello di Sherrington-Kirkpatrick (SK), può essere risolto completamente dentro a un nuovo schema analitico. La soluzione, ricavata da G. Parisi negli anni 1979-80, per le novità che comporta, rappresenta uno dei progressi più importanti nello studio della complessità. In particolare dimostra che nell'approssimazione di campo medio c'è una transizione di fase corrispondente alla rottura dell'ergodicità: a temperature sufficientemente basse il sistema ha un gran numero di stati di equilibrio (infinito quando N, il numero degli spin, tende a infinito) che corrispondono a valli profonde e larghe nella superficie di energia.

Nel comportamento di questo modello gioca un ruolo preponderante il concetto di frustrazione introdotto da G. Toulouse. Una qualsiasi tripletta di spin si dice frustrata se le interazioni a coppie sono tali che alcune di queste tendono a mettere due spin paralleli, mentre le altre li vorrebbero antiparalleli e nessuna scelta per i tre spin sA, sB, sC può soddisfarle tutte. Paradossalmente ne segue che più di una configurazione soddisfa il maggiore numero possibile di interazioni, e quindi ne risulta una maggiore ricchezza e diversità fra gli stati di equilibrio. Nel modello SK tipicamente la metà di tutte le triplette sono frustrate. Se si modifica il modello in modo da diminuire il tasso di frustrazioni diminuisce anche il numero degli stati di equilibrio.

Il metodo delle repliche e la soluzione di Parisi. - Essendoci un numero infinito di stati di equilibrio, il sistema SK evolverà all'interno di uno di essi. Dunque la media temporale di un osservabile qualsiasi non sarà uguale alla media fatta sull'ensemble canonico. In questi casi i metodi usuali della meccanica statistica richiedono la conoscenza del campo magnetico esterno (o della condizione al contorno) che proietta il sistema in un particolare stato di equilibrio. Nei sistemi disordinati tale conoscenza non c'è e, d'altronde, questa metodologia non permetterebbe di studiare la struttura globale della superficie d'energia.

Il metodo delle repliche risolve questi problemi. Nella formulazione di Parisi l'apparizione di un numero infinito di stati di equilibrio viene codificata come una rottura di una simmetria: il gruppo di permutazioni di n elementi dove n→0. Il metodo fornisce un'informazione dettagliata sulle distanze relative fra le valli. Ne segue che ci sono valli a tutte le possibili distanze mutue entro un certo intervallo. Calcolando le predizioni per più di due repliche si possono studiare correlazioni multiple fra diverse posizioni. In particolare dallo studio di tre repliche si deduce un risultato sorprendente: scelte tre valli a caso, con probabilità data dalla distribuzione canonica, quella che è più lontana dalle altre due si trova alla stessa distanza di queste: tutti i triangoli sono equilateri o isosceli con angoli acuti. Questa particolare correlazione viene chiamata ultrametricità seguendo il matematico M. Krasner che ha studiato le sue proprietà. Le simulazioni numeriche hanno, in generale, confermato la descrizione generale della soluzione di Parisi. Superfici di energia simili sono state trovate in altre teorie e/o modelli. Le correzioni all'approssimazione di campo medio sono troppo complesse e per il momento non permettono di dedurre cosa succede quando la portata dell'interazione diventa finita.

Applicazioni dei concetti sui vetri ai sistemi complessi. - Il modello SK è un prototipo dei sistemi a molti stati di equilibrio. Per questo diventa una possibile scelta quando si tratta di modellizzare sistemi complessi. In particolare P.W. Anderson ha sottolineato come le due proprietà, ricchezza nel numero degli stati e relativa stabilità di ognuno di questi rispetto a piccole perturbazioni siano fondamentali per modellizzare i biosistemi. Le reti neurali di J.J. Hopfield, suggerite come modelli del funzionamento del cervello, ne sono l'esempio più noto benché non l'unico. In questi modelli gli spin magnetici si interpretano come neuroni formali, mentre gli accoppiamenti si traducono in intensità sinaptiche. Si distinguono due processi dinamici diversi. Nel primo, detto di riconoscimento, gli accoppiamenti rimangono fissi mentre la rete parte da una qualsiasi configurazione di neuroni coattivi e converge verso uno dei possibili stati di equilibrio. L'organizzazione mutua di questi ultimi riproduce molte delle proprietà sopra discusse. Il secondo processo, detto di apprendimento, è invece specifico delle reti neurali. Durante l'apprendimento il sistema interagisce col mondo esterno, dove si rifugia il disordine strutturale, e le intensità sinaptiche evolvono verso dei valori che permettono di modellare gli stati di equilibrio del riconoscimento. Il metodo delle repliche fu applicato con successo alla comprensione di ambedue i processi dinamici (''riconoscimento'', Amit e altri 1985; ''apprendimento'', Gardner 1988).

Un'altra applicazione importante è nel campo dell'ottimizzazione complessa. Si può dimostrare che il problema di trovare l'algoritmo che porti alla configurazione di minima energia nel modello SK in un tempo ragionevole (proporzionale a una potenza del numero degli spin) appartiene alla classe dei problemi più difficili, cioè la cosiddetta classe NP complete, alla quale appartengono anche il problema della partizione di un grafo. Trovare matematicamente il minimo assoluto dell'energia è ostacolato dall'esistenza di molti minimi locali. Una conoscenza dettagliata della topografia della superficie energia come fornita dal metodo delle repliche è importante per disegnare un algoritmo che tenga conto di questi ostacoli.

Bibl.: M. Mezard, G. Parisi, M.A. Virasoro, Spin glass theory and beyond, Singapore 1987; D. Amit, Modeling brain function, Cambridge 1989.

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