5 ottobre 2018

Le armonie di Pitagora: riflessioni matematiche su un'arte millenaria

di Daniele Nemmi

Antica Grecia: un uomo passeggia all’aria aperta in una magnifica giornata e, passando vicino ad una bottega, sente dei rumori di ferri che sbattono e nota che alcuni producono suoni piacevoli, altri invece un po’ sgradevoli. Inizia quindi a porsi delle domande sulla ragione di questa differenza.

La leggenda vuole che così iniziò a fare degli esperimenti, utilizzando delle semplici corde. Di chi stiamo parlando? Molti lo conoscono per un teorema che gli insegnanti di matematica di ogni scuola media ripetono quasi come un mantra ai propri studenti, ma pochi sanno che quest’uomo è stato uno dei fondatori di qualcosa di meraviglioso, che intrattiene gli stessi studenti quando smettono di studiare matematica: la musica. L'uomo in questione è Pitagora.

 

Pitagora si rese conto che quando le corde vengono pizzicate producono un suono netto, chiaro, che può essere modificato cambiando la lunghezza della corda; in particolare, una corda più corta produceva un suono più “acuto”, mentre una più lunga un suono “grave”. Provate a pensarci: avete mai visto le corde di un mandolino? Sono molto più corte di quelle di un basso, il primo produce note più acute, il secondo più gravi.

Ma a Pitagora non basta, egli vuole vedere cosa succede prendendo più corde. Prova con due, una lunga il doppio dell’altra, le suona insieme e arriva così al suo orecchio un suono molto piacevole: due note di questo tipo sono quelle che al giorno d’oggi i musicisti definiscono “note separate da un’ottava”, ad esempio due Do consecutivi sul pianoforte. Egli deduce quindi che le corde che producono suoni tra di loro consonanti hanno le lunghezze che sono in rapporto razionale (una frazione per intenderci, come nelle ottave, in cui il rapporto è 2:1), mentre quelle che hanno lunghezze in rapporto irrazionale (che non può essere scritto come frazione) risultano spiacevoli all’orecchio; tuttavia, non tutti i rapporti razionali producono suoni consonanti, ma ve ne sono anche alcuni che ne producono di dissonanti.

 

Nasce così il concetto di armonia in musica: in seguito, si fisseranno dei precisi rapporti tra le note così da poter produrre la musica con un criterio, non per mano di Pitagora ma per opera dei Greci e dei Romani, che introdussero la cosiddetta scala naturale, poi perfezionata da Zarlino in epoca rinascimentale. Quest'ultima fissa dei riferimenti precisi per le note: scegliendone come riferimento una che viene detta fondamentale, ogni nota successiva è data da un diverso rapporto tra la lunghezza della corda fondamentale e quella che la produce, così si definisce la terza, la quinta, ecc. fino ad arrivare ad un rapporto di 2:1 con il quale si definisce l’ottava.

 

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Grazie a questi concetti si inizia piano piano a sviluppare e perfezionare il concetto di accordo come espressione dell’armonia di diversi suoni. Si tratta di un insieme di note di determinata altezza suonate contemporaneamente, ad esempio gli accordi (triadi) maggiori sono formati dal tono fondamentale, dalla terza maggiore e dalla quinta giusta (l’accordo di Do maggiore è formato da Do, Mi e Sol). Tra questi tre suoni che sono in “armonia” intercorrono delle relazioni matematiche, infatti la terza maggiore è la media aritmetica dei rapporti del tono fondamentale e della quinta giusta. Questo particolare fatto rende il suono percepito dall’orecchio particolarmente piacevole.

Si può aggiungere ancora qualche dettaglio sulla scala musicale naturale: se si ha uno strumento accordato nella scala di Do e si vuole eseguire un brano in tonalità di Re ad esempio, bisognerebbe riaccordare lo strumento, poiché i rapporti tra le note, se si prende il Re come tono fondamentale, sono diversi, ad esempio la quinta di Re è il La e il loro rapporto è 40:27, che è diverso, seppur di poco, da 3:2. Per ovviare a questo problema si è scelto di dividere l’ottava (che mantiene il rapporto 2:1) in dodici parti (i dodici semitoni) il cui rapporto è costante. Se chiamiamo x questo rapporto, si deve avere che

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In questo modo è possibile passare da una tonalità all’altra senza dover intervenire ogni volta sullo strumento.

Questa scala, conosciuta già in antichità ma adottata significativamente a partire dal XIX secolo, prende il nome di scala temperata, è molto più agevole per i motivi sopra esposti, pur ottenendo dei rapporti tra note irrazionali e quindi suoni non perfettamente armonici; tuttavia è molto difficile notare queste imperfezioni poiché la differenza di rapporti è irrisoria e quasi impossibile da distinguere per l’orecchio umano.

 

Ma l'apporto delle scienze matematiche alla musica non è finito qui: un suono puro può essere rappresentato analiticamente come una funzione sinusoidale, ovvero un’onda. L’altezza del suono dipende dalla frequenza con cui avviene la vibrazione: ad esempio, il La dei diapason che funge da riferimento per accordare gli strumenti musicali corrisponde ad una frequenza di 440 Hz.

In una sinusoide si ha che la frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda (che dipende direttamente da quella della corda pizzicata), quindi se pizzichiamo una corda di lunghezza metà della prima, la frequenza di oscillazione sarà doppia. Se una corda pizzicata produce il La a 440 Hz, un’altra identica lunga la metà produce il La dell’ottava superiore a 880 Hz. In realtà, quando pizzichiamo una corda, essa non emette un solo suono, ma diversi, quello di frequenza più bassa è detto suono fondamentale, mentre tutti gli altri che via via hanno intensità minore e frequenza maggiore hanno quest’ultima che è multipla intera di quella fondamentale. Chiamando f la frequenza fondamentale, la successione di suoni di frequenze f, 2f, 3f, … viene detta serie armonica, proprio perché, per i loro rapporti, i suoni presentano un’armonia all’udito. Per quanto riguarda le scale musicali, i rapporti che consideriamo sono i rapporti tra le frequenze, e non quelli (inversi) tra le lunghezze, perché non tutti gli strumenti sono a corda, ma tutti i suoni hanno una propria frequenza.

 

Dopo queste considerazioni, al di là del fatto che la leggenda di Pitagora sia vera o no, l’osservazione di questi fenomeni ha favorito la nascita della musica, una delle forme d’arte più apprezzate al mondo, che costituisce un linguaggio universale. Essa si basa su principi matematici e fisici ben definiti, ma non per questo è arida – come invece vengono spesso definite queste discipline scientifiche – al contrario, è in grado di trasmettere potenti emozioni. Questo è uno di quei casi in cui discipline scientifiche e arte si fondono migliorandosi a vicenda: pensate ad esempio ai capolavori dell’architettura, edifici magnifici che però, senza un po’ di scienza, non potrebbero reggersi, o alle sensazionali immagini nelle cattedrali che giocano sulla profondità con le regole della prospettiva, che possono creare spazi dove non ci sono. In conclusione, quando vengono mescolate in armonia, scienza e arte hanno il potere di unire due mondi, forse solo apparentemente, lontani.

 

 

Per saperne di più 

Per approfondire il rapporto che sussiste tra musica e matematica si può visitare questa pagina.

Se invece si è interessati maggiormente a come avviene la propagazione del suono e quindi alla fisica che c'è dietro alla produzione delle note, si può consultare un libro di fisica generale, ad esempio il capitolo sulle onde sonore in Fondamenti di Fisica di D. Halliday e R. Resnick. 

 

 

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