4 ottobre 2019

Il paradosso di Banach-Tarski e altri bizzarri rompicapi dell’infinito

di Daniele Nemmi

C’era una volta un albergo grande, tanto grande da avere un numero infinito di stanze, tutte occupate da cordiali ospiti che vi soggiornavano per rilassarsi. Un bel giorno alla reception arriva un uomo che chiede di poter avere una camera. Il proprietario dell’albergo esclama: «Siamo al completo!». Lo sfortunato viaggiatore fa per andarsene, ma il proprietario lo guarda e aggiunge: «Ma no, cosa ha capito? Anche se siamo al completo le troverò una stanza, dovrà attendere solo un momento…». Dopo un attimo di perplessità da parte del cliente, si sente da un altoparlante la voce del proprietario, che attraverso un microfono annuncia: «Gentili ospiti, la direzione chiede la vostra collaborazione: invitiamo ciascun occupante a spostarsi nella camera con il numero successivo a quella in cui si trova, il personale provvederà immediatamente a pulire e riordinare tutte le stanze, grazie!». In men che non si dica, gli ospiti della stanza 1 si spostano nella 2, quelli della 2 nella 3 e così via, così che la stanza numero 1 ora è libera per il nuovo cliente.

 

Questa storiella un po’ più romanzata dell’originale è nota come paradosso del Grand Hotel di Hilbert, formulata per mostrare che quando si lavora con l’infinito, succedono cose strane: in questo caso ad esempio si nota facilmente come, se ad un numero infinito di oggetti ne aggiungiamo un altro, ritroviamo la situazione di partenza; ogni stanza dell’albergo era piena prima dell’arrivo del viaggiatore, ma egli si è potuto comunque sistemare e alla fine ogni camera è di nuovo occupata. Per rendere le cose ancora più strane, pensiamo a cosa sarebbe potuto accadere se invece che uno, fossero arrivati un numero infinito di nuovi clienti. Sarebbe bastato far spostare ogni ospite nella camera con il numero doppio rispetto a quello in cui si trova; così le camere con i numeri pari sarebbero state tutte occupate, mentre quelle con i numeri dispari sarebbero state libere, pronte ad ospitare la nuova moltitudine di gente.

 

Quindi, anche se aggiungiamo “infiniti” elementi ad un numero “infinito” di oggetti, otteniamo lo stesso “numero”. Le virgolette sono d’obbligo, perché il concetto di infinito non può essere trattato allo stesso modo dei numeri finiti. I matematici ad esempio dicono che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o, se preferite, lo stesso numero di elementi), se si possono mettere in corrispondenza gli elementi di uno con gli elementi dell’altro, formando delle coppie, senza lasciare nessun elemento spaiato, facciamo un esempio: abbiamo visto sopra che in qualche modo i numeri interi positivi 1, 2, 3… sono tanti quanti i numeri pari, infatti possiamo associare ognuno al suo doppio; 1 è associato a 2, 2 è associato a 4, 3 è associato a 6 e così via. Nessun numero è spaiato, quindi i due insiemi hanno la stessa cardinalità, nonostante sembrerebbe che i numeri pari siano di meno. L’infinito degli interi positivi (che è lo stesso di quello dei numeri pari) si chiama infinito numerabile ed è il numero di giorni, ma anche di anni, che ci sono nell’eternità, oppure il numero di passi che fareste se non smetteste mai di camminare.

 

Ci sono tanti tipi di infinito, effettivamente ce ne sono infiniti, ma quello numerabile è il più piccolo. Ad esempio, uno più grande è quello che viene detto del continuo, ovvero quello dei numeri reali (per intenderci, tutti i numeri più comuni, interi e con la virgola, cioè le frazioni, ma anche la radice di 2, il pi greco…), che è lo stesso di tutti i numeri reali tra 0 e 1: ci sono più numeri tra 0 e 1, che tutti gli interi positivi.

Il paradosso del Grand Hotel di Hilbert.

Se vi sta girando la testa, direi che non c’è nulla di cui preoccuparsi: questo è successo anche ad un sacco di matematici, primo fra tutti Georg Cantor, considerato il padre della teoria degli insiemi, il quale ha gettato le basi di questi concetti, mostrando che il continuo è più grande del numerabile e che ha speso molto tempo per provare a dimostrare, senza riuscirci, un problema noto come Ipotesi del Continuo: egli voleva capire se esistessero degli infiniti più grandi di quello numerabile, ma più piccoli di quello del continuo.

 

Rispondere a questa domanda è un po’ complicato, quindi non indugeremo su ciò, per non togliere spazio al protagonista di questo viaggio nei territori dell’infinito: il paradosso di Banach-Tarski e le sue implicazioni. Quando alle scuole medie si incontra il concetto di area di una figura, si dice che se essa può essere scomposta in figure più piccole e queste vengono poi ricomposte, anche in una forma diversa, le due figure hanno la stessa area. Questo funziona anche per il volume dei solidi, il che è abbastanza intuitivo se ci si pensa un attimo: se ho un oggetto che divido in piccoli pezzi e poi li ricompongo, l’oggetto finale avrà lo stesso volume.

 

Qui nasce il paradosso: i due matematici hanno dimostrato che se si prende una sfera, la si può dividere in un numero finito di parti, per poi ricomporle a formare due sfere identiche all’originale. Ciò vìola il nostro concetto intuitivo di volume, infatti nella realtà non capita spesso di riuscire a duplicare un oggetto, pensate a cosa vorrebbe dire prendere una pallina di cioccolata e duplicarla, senza aver bisogno di altra cioccolata…

 

Il Paradosso di Banach-Tarski ci dice in sostanza che non è possibile avere un concetto di volume che rispetti il senso comune, l’unico modo per farlo è rinunciare all’idea che tutti gli oggetti tridimensionali abbiano un volume. I matematici distinguono così gli insiemi misurabili da quelli non misurabili; per i primi si può avere una nozione di volume, mentre per i secondi no. Ovviamente quelli coinvolti nel paradosso non sono misurabili e sono degli oggetti un po’ complicati da descrivere. Ma cosa c’entra il paradosso di Banach-Tarski con l’infinito? Per dimostrare il risultato dei due matematici, si utilizza un assioma denominato assioma della scelta.

 

Gli assiomi sono ipotesi che si fanno quando si costruisce una teoria, da questi poi si deducono delle conseguenze, che sono i teoremi. L’assioma della scelta ci dice che se abbiamo un numero infinito di insiemi, ad esempio un numero infinito di paia di orecchini, si può scegliere un elemento da ciascuno degli insiemi; si può quindi scegliere un orecchino da ciascun paio.

 

Sembra una cosa intuitivamente sensata, se ho dieci paia di orecchini riesco tranquillamente a sceglierne uno per ogni paio, però siamo proprio sicuri che se ne ho un numero infinito ci riesco allo stesso modo? La risposta non è così scontata; è stato dimostrato che non si può dedurre l’assioma della scelta dagli altri assiomi della matematica comunemente usati, e che non si creano contraddizioni se lo si utilizza, dunque si è liberi di scegliere se adottarlo o meno. Se si decide di utilizzarlo, ci si trova tra le mani uno strumento molto potente, ma al contempo si apre una sorta di vaso di Pandora; si riescono infatti a trovare dei risultati controintuitivi, come il paradosso di Banach-Tarski. La maggior parte dei matematici contemporanei accetta l’assioma della scelta, buona parte delle teorie utilizzate oggigiorno poggiano le loro fondamenta proprio su di esso, ma ne esistono alcuni che lo rifiutano e cercano di costruire teorie senza farne uso.

 

Il problema è più filosofico che matematico, e il paradosso di Banach-Tarski, insieme ad altri fatti strani, è al centro della questione: da coloro che accettano l’assioma della scelta viene ritenuto solo controintuitivo, ma non particolarmente problematico, dagli altri invece viene usato per sostenerne l’inammissibilità. Il paradosso resta un risultato matematico puramente teorico per il momento, nella realtà non siamo in grado di realizzare la situazione descritta da Banach e Tarski, perché le parti in cui la sfera andrebbe divisa sono molto complesse e richiederebbero una “precisione infinita” che non possiamo ottenere.

 

Tuttavia, il mondo è strano e la natura non si preoccupa se quello che fa è controintuitivo per noi, il tempo scorre in modo diverso in zone diverse del cosmo, eppure per noi è difficile concepirlo, la luce viaggia sempre alla stessa velocità, anche se la si lancia da un treno in corsa, eppure per noi non è facilmente accettabile, per non parlare delle bizzarrie che si incontrano nella meccanica quantistica, che delle volte ci sembrano semplicemente assurde; magari un giorno scopriremo che in certe condizioni il paradosso di Banach-Tarski è realizzabile anche nel mondo fisico, o magari no. Molto spesso la natura ha sorpreso gli uomini che pensavano di averla compresa, comportandosi in modi curiosi; uno dei pochi strumenti che abbiamo per non farci cogliere impreparati da essa è proprio la matematica, e in fondo non c’è da stupirsi se anche lei, che cerca di interpretare l’universo, ci regala dei risultati apparentemente paradossali.

 

 

Per saperne di più:

Per una introduzione al tema si suggerisce il libro di Martin Gardner Dracula Platone e Darwin, giochi matematici e riflessioni sul mondo edito Zanichelli, 2010.

 

L’immagine di copertina è a opera di Alfons Morales, via Unsplash
L’immagine usata per illustrare il paradosso di Gilbert proviene da Janbery, via Wikimedia Commons. Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International license.

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