3 febbraio 2019

Je n'ai pas le temps: l’eredità di Évariste Galois

di Luca Nesterenko

Vissuto a Parigi durante un’epoca di grandi tumulti politici per la Francia del periodo post-napoleonico, Évariste Galois (1811-1832), nell’arco della sua breve vita, ha lasciato un’impronta indelebile nella storia della matematica. Nato nel 1811 a Bourg-la-Reine, nel 1823 Évariste inizia a frequentare a Parigi il prestigioso liceo Louis-le-Grand, ma è nel 1826 che il quindicenne Galois viene preso da quello che nella sua stessa pagella viene chiamato «il furore della matematica»: questa diventa presto per lui un’ossessione che lo porta a trascurare le altre materie e i suoi compagni. Dopo aver tentato invano per due volte l’ammissione all’École Polytechnique, Galois finisce per studiare all’École Préparatoire dove diventa amico del compagno di studi Auguste Chevalier, che tra l’altro desta in lui l’interesse per la politica.

La volontà di Galois di partecipare alla rivoluzione di luglio del 1830 fu ostacolata dalle minacce del direttore della scuola e dalla sua decisione di chiuderne le porte. Sprezzante delle possibili conseguenze, Galois denuncia apertamente tale comportamento in una lettera sulla Gazette des Écoles, ottenendo come effetto l’immediata espulsione dalla scuola. Non più studente, egli si arruola, insieme ad altri repubblicani, nell’artiglieria della Guardia Nazionale, poco prima che questa venisse sciolta, con l’imposizione della consegna delle armi, da un decreto di Luigi Filippo. Già noto alle forze dell’ordine per un’accusa d’incitamento a un attentato contro il re, dalla quale fu assolto, il 14 luglio del 1831 Galois, con l’uniforme della destituita Guardia Nazionale e alla testa di un corteo di repubblicani, viene arrestato per porto illegale di armi e di uniforme venendo in seguito condannato a nove mesi di prigione. La pena terminò il 28 aprile del 1832 e poco si sa delle ragioni e dinamiche che portarono Galois alla sua tragica fine in un duello tenutosi un mese dopo, il 30 maggio: nemmeno il nome del suo assassino ci è noto con sicurezza, sebbene Alexandre Dumas riporti il nome di Pescheux d’Herbenville, uno degli artiglieri la cui assoluzione era celebrata durante il banchetto sfociato nel primo arresto di Galois. Tra le ipotesi formulate negli anni sulla morte del matematico, vale la pena di ricordare quella che vede una donna, Stéphanie-Félicie du Motel, al centro della contesa; a suffragio di questa ipotesi ci sono diversi indizi nell’epistolario di Galois, sia con la du Motel sia con altri corrispondenti. Un’altra teoria, riportata tra gli altri da un autorevole biografo come Eric Temple Bell (Men of Mathematics, 1937), vuole che l’assassinio di Galois sia da considerarsi politico, felice esito di un complotto tra regalisti e forze di polizia. Quale che sia la verità dietro alla tragica e prematura scomparsa, è un fatto tuttavia che l’appena ventunenne Galois, temendo o forse prevedendo di andare incontro alla morte, nelle sue ultime ore di vita scrisse una lettera all’amico Chevalier, lettera che finirà per essere il suo testamento scientifico. La paura di una prossima dipartita e la fretta con cui scrisse il documento sono suggellate nelle celebri parole «Je n'ai pas le temps». In vita i lavori matematici di Galois furono perlopiù ignorati, smarriti o incompresi. Solo anni dopo la sua morte le sue teorie ottennero il riconoscimento che meritavano, rivoluzionando la matematica astratta moderna.

 

Passiamo quindi, nei limiti posti dal linguaggio di un articolo divulgativo, ad approfondire il suo lascito matematico.

Di cosa si occupò Galois? Uno dei suoi più grandi meriti consiste nell'aver trovato un criterio generale per determinare se un’equazione algebrica è risolubile per radicali o meno. Procediamo per piccoli passi. Un’ equazione algebrica è un’equazione nell'incognita x del tipo

1 mod   dove a_0, a_1, a_2, … ,

a_n sono numeri dati. Per semplicità di esposizione d'ora in poi supporremo che tali numeri siano razionali, ovvero che siano esprimibili come quoziente di due numeri interi, quelle che nel linguaggio comune vengono chiamate frazioni. Ad esempio, un'equazione algebrica di grado due è del tipo

2 (1) e, come è noto, le soluzioni (eventualmente coincidenti) di tale equazione sono

2-mod

osserviamo che tali numeri si ottengono a partire dai coefficienti a, b e c dell'equazione originale mediante somme, differenze, prodotti, quozienti ed estrazioni di radici quadrate. Analogamente diciamo che un’equazione algebrica di grado qualunque è risolubile per radicali se possiamo scrivere le sue soluzioni mediante somme, differenze, prodotti, quozienti ed estrazioni di radici quadrate, terze, quarte o di qualunque altro grado.

Mentre le equazioni di secondo grado erano state già studiate dai babilonesi e la formula risolutiva che abbiamo visto sopra è stata già trovata, tra gli altri, dal matematico indiano Brahmagupta (VII secolo), si dovrà attendere la prima metà del XVI secolo, con il lavoro di una serie di algebristi italiani (del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari), per le formule generali che esprimono le radici delle equazioni di terzo e quarto grado. La ricerca di formule risolutive spostò dunque la sua attenzione alle formule di quinto grado. Verificatasi tale ricerca infruttuosa, iniziò a crescere il sospetto che tale formula potesse non esistere finché nel 1824 il matematico norvegese Niels Henrik Abel, completando il lavoro di Paolo Ruffini, dimostrò finalmente che le soluzioni di equazioni algebriche di grado maggiore al quarto non sono in generale esprimibili mediante radicali. È qui importante sottolineare che, seppure in generale tali soluzioni non siano esprimibili mediante somme, differenze, prodotti, quozienti ed estrazioni di radici, ciò non è necessariamente vero per dei casi particolari. Quello che il teorema di Abel-Ruffini afferma è che non esistono formule ‘universali’ che data un’equazione di grado superiore al quarto ne esprimano le soluzioni in termini dei suoi coefficienti mediante le operazioni descritte sopra. Come distinguiamo questi casi particolari? Data un’equazione algebrica come possiamo determinare se essa è risolubile per radicali o meno? Queste sono domande alle quali risponde la teoria matematica sviluppata da Évariste Galois.

 

L'approccio innovativo di Galois alla questione della risolubilità di equazioni algebriche per mezzo di radicali consiste nello studio del problema mediante il concetto di gruppo, struttura algebrica che egli studiò estensivamente per la prima volta (il nome stesso gruppo è da attribuirsi a Galois) e che fu fondamentale per lo sviluppo dell'algebra moderna, nella quale assume tuttora un ruolo cruciale. Innanzitutto, cos'è un gruppo? Cerchiamo di farcene un'idea considerando un caso particolare. Un esempio fondamentale di gruppo è costituito dai cosiddetti gruppi di permutazioni anche noti come gruppi simmetrici: dati n elementi il corrispondente gruppo simmetrico S_n è dato da tutte le trasformazioni che ne scambiano l'ordine lasciandoli inalterati. Vediamo come semplice esempio il gruppo di permutazioni S_3: questo contiene 3!=3· 2· 1=6 elementi ed agisce permutando, ovvero scambiandone l'ordine, 3 oggetti che qui rappresenteremo con delle palline.

Data una permutazione, ovvero data una mossa consistente nello scambio dell'ordine di tali palline, esiste sempre una mossa "inversa": per ritornare alla situazione di partenza ci basta eseguire la stessa mossa al contrario. Abbiamo la permutazione identica:

3-mod 

 

Questa agisce lasciando immutato l'ordine dei tre oggetti in questione ed è l'inversa di sé stessa. Abbiamo poi tre permutazioni, dette trasposizioni, che agiscono scambiando l'ordine di due dei tre oggetti e che risultano anch'esse inverse di sé stesse:

4-mod

S_3 contiene infine due permutazioni, dette cicli, che sono una l'inversa dell’altra:

5-mod

Notiamo che, date due permutazioni a e b in S_3 possiamo ottenerne un'altra, la loro permutazione composta, che indichiamo con a· b e che si ottiene eseguendo le operazioni b ed a una dopo l'altra. Più in generale un gruppo è un insieme (ovvero una collezione di elementi) G dotato di un'operazione che possiamo indicare con il familiare simbolo del prodotto · e che gode delle le seguenti proprietà:

chiusura rispetto all'operazione di gruppo (dati a e b in G anche il loro ‘prodotto’ a· b, appartiene a G) associatività (comunque presi a, b e c in G, si ha a· (b· c)=(a· b)· c) esistenza di un elemento neutro (esiste un elemento, che possiamo indicare con 1, tale che a· 1=1· a = a per ogni a appartenente a G) esistenza degli inversi (per ogni a appartenente a G esiste un elemento b in G, tale che a· b=b· a=1).

Un esempio familiare di gruppo è costituito dai numeri razionali Q, che è un gruppo rispetto all'operazione + con elemento neutro zero 0 e inoltre, privato di quest’ultimo, è anche un gruppo rispetto all’operazione · con elemento neutro 1.

 

Quello che abbiamo appena visto è infatti un campo, un’altra fondamentale struttura algebrica, intuitivamente si tratta di "un insieme in cui possiamo sommare, moltiplicare, sottrarre e dividere". Un po' più formalmente un campo è un insieme C dotato di due operazioni, + e · tali che C risulta un gruppo rispetto alla prima e C privato dello 0 (ovvero l’elemento neutro rispetto alla ‘somma’) risulta un gruppo rispetto alla seconda. Richiediamo infine che come per le familiari operazioni di somma e prodotto valgano commutatività (a· b=b· a e a+b=b+a per ogni a e b in C) e distributività (comunque presi a, b e c in C, si ha a· (b+c)=(a· b)+(a· c)).

Abbiamo già visto un esempio di campo, ovvero l'insieme dei numeri razionali Q ed è proprio quello su cui ci concentreremo, nonostante la generalità della teoria di Galois per semplicità di esposizione ci limiteremo qui a trattare il caso di polinomi a coefficienti razionali.

L'originalità del lavoro di Galois consiste nell'aver ricondotto lo studio della risolubilità di equazioni algebriche allo studio di gruppi e campi, strutture algebriche astratte. In che modo? Cerchiamo di capirlo considerando un caso particolare. Supponiamo di avere l'equazione algebrica

6-mod sappiamo che le sue soluzioni sono √2 e -√2, due numeri irrazionali. Vediamo cosa succede se "aggiungiamo" (Galois stesso utilizza il termine aggiungere, nel linguaggio matematico moderno parleremmo di un'estensione di campi) a Q una qualsiasi di esse, ovvero se andiamo a considerare il più piccolo campo (rispetto all'inclusione insiemistica) che contiene sia Q che la radice di due.

Sia F tale campo, si verifica facilmente che F consiste di tutti i numeri del tipo

7-mod 

dove a e b sono numeri razionali. L'ultima definizione "tecnica" di cui abbiamo bisogno è quella di automorfismo di un campo: dato un campo K un suo automorfismo è una funzione biiettiva φ da K in sé stesso tale che per ogni a e b appartenenti a K si ha

8-mod

Sostanzialmente richiediamo che la funzione "commuti" con le operazioni di campo: "sommando" ("moltiplicando") due elementi e poi applicando la funzione otteniamo lo stesso risultato che avremmo ottenuto prima applicando la funzione e poi "sommando" ("moltiplicando") gli elementi così ottenuti. Una proprietà fondamentale degli automorfismi di un campo è che essi formano un gruppo rispetto all'operazione di composizione di funzioni (comporre due funzioni consiste semplicemente nell’applicare prima una e poi l’altra). Consideriamo nuovamente l'esempio di prima, si verifica che l'unico automorfismo non banale, ovvero diverso dall'identità, di F è

9-mod

il cui effetto dunque è semplicemente quello di scambiare √2 e -√2, possiamo perciò identificare il gruppo degli automorfismi di F con il gruppo simmetrico S_2. Notiamo un'altra cosa: l'insieme degli elementi che rimangono inalterati dall'azione del gruppo, ovvero dei numeri tali che φ(a)=a, coincide con l'insieme dei numeri razionali. Diciamo dunque che Q è il campo fisso del gruppo. Siamo ora pronti per definire il gruppo di Galois di un’equazione algebrica a coefficienti razionali. Data un’equazione algebrica

10-mod

con coefficienti a_i razionali, il gruppo di Galois ad essa associato è il gruppo degli automorfismi del campo ottenuto "aggiungendone" le soluzioni a Q e che lasciano quest’ultimo invariato, ovvero il gruppo degli automorfismi di cui Q stesso è il campo fisso.

 

Proprio studiando le proprietà algebriche di tale gruppo, nello specifico se esso gode o meno di una certa proprietà detta risolubilità, Galois riuscì a ottenere una condizione necessaria e sufficiente affinché tali equazioni siano risolubili per radicali, risolvendo così un problema aperto da oltre 300 anni: un'equazione algebrica a coefficienti razionali è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile.

Tuttavia, la definizione di risolubilità per un gruppo, così come la dimostrazione del teorema di Galois, risultano argomenti troppo complessi e non adeguati a un articolo divulgativo. Il lettore desideroso di approfondire potrà trovare indicazione nei testi consigliati in bibliografia.

 

 

Per saperne di più

Un’estesa trattazione dell’algebra si può trovare nel libro di Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino, 1997. Chi invece possiede già un’infarinatura generale di algebra può consultare il testo di Irving Kaplanksy, Fields and Rings, University of Chicago Press, 1965, che tratta la teoria di Galois più nel dettaglio. Per approfondire invece la storia delle risolubilità delle equazioni algebriche e della vita di Galois un libro consigliato è Carl Benjamin Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 1990. Infine i più interessati non potranno perdersi Scritti matematici, Bollati Boringhieri, 2000, contenente la traduzione degli scritti originali di Galois.

 

 

Immagine di copertina tratta da Wikimedia Commons: Duel au pistolet au XIXème siècle (Beauce et Rouget, 1857).

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