26 settembre 2018

La bella matematica

di Francesca Randone

Incontrata tra i banchi di scuola e abbandonata il prima possibile o apprezzata e perseguita, la matematica esercita su chi le si accosta un fascino (o una ripugnanza) particolare. Forse per il suo simbolismo, per il suo linguaggio formale lontanissimo da quello che comunemente usiamo, o forse per il suo dilungarsi in speculazioni lunghissime e incomprensibili su fenomeni immediati e concreti, da sempre la matematica si trova in bilico tra scienza e filosofia. Per chi ne comprende i meccanismi, la matematica non può che appartenere alla categoria del “bello”.  Eppure, in questi casi, la definizione stessa di “bello” acquista particolari sfumature: si tratta di un concetto su cui molti nomi illustri si sono già espressi, primo fra tutti il grande matematico inglese di inizio secolo, G. H. Hardy, che scrisse un vero e proprio trattato di estetica matematica dal titolo Apologia di un matematico.

 

Innanzitutto, occorre partire dalla concezione comune di matematica, per mostrare che è quanto meno ragionevole pensare che essa possa essere considerata “bella” e che, anzi, a tutti è capitato di apprezzarne la bellezza. C’è, infatti, un tipo di matematica immediata e facilmente accessibile a tutti che, pur non avendo grande valore scientifico, ha il pregio di stupire e interessare anche coloro che non hanno intenzione di sforzarsi troppo. Si tratta della matematica che riempie le colonne della Settimana enigmistica, gli indovinelli, le partite di scacchi, i giochi di carte, o le meravigliose litografie di Escher. Una matematica, in un certo senso “pratica”, perché si può fruire senza conoscere alcuna teoria, ma che ogni giorno viene utilizzata da milioni di persone per semplice svago. Già l’idea che la matematica possa essere utilizzata come svago, e quindi risultare piacevole, può essere abbastanza sorprendente, ma se mai siete stati colti da un fremito di eccitazione nel risolvere un rompicapo non dovrebbe risultarvi difficile accettarlo. L’idea che poi, addentrandosi in essa, la matematica possa diventare una vera e propria fonte di piacere estetico sembra un passo piuttosto lungo, ma useremo degli esempi per dimostrare come ciò sia possibile.

 

Prendiamo allora in considerazione la matematica “vera” che non si limita a giochini numerici o logici. Di questa potremmo cogliere due particolari aspetti: un aspetto più astratto e legato al contenuto, ed un altro dipendente dalla forma

 

Il primo, definibile come aspetto “puro” o “logico” della bellezza matematica, è il tipo di bellezza che Hardy elogia nella sua Apologia. In questo caso, la categoria del “bello” viene applicata a un ragionamento logico, come la dimostrazione di un teorema. Può dunque un ragionamento logico essere bello? Hardy risponde di sì, e non solo elenca una serie di proprietà che portano ad affermare che una dimostrazione è bella, ma riporta pure un esempio di “bella dimostrazione”. Secondo Hardy, ancora più che in poesia o in pittura, la bellezza matematica è legata non solo alla forma, ma al suo contenuto, dunque nella definizione di bello i due aspetti devono essere strettamente correlati.

 

Per quanto riguarda il contenuto, quindi, un teorema sarà tanto più bello, quanto più generale e profondo. Con «generale», Hardy intende che esso deve «essere suscettibile di una notevole estensione e caratteristico di tutta una classe di teoremi della stessa specie». Questo per esempio esclude i giochi enigmistici di cui si parlava prima. Portiamo un esempio per chiarire il concetto: trovare due numeri la cui somma dei quadrati sia 281 è un problema relativamente semplice, che può essere risolto anche per tentativi e la cui soluzione non ci dirà nulla di più sulla matematica che conosciamo. Ma dimostrare quali numeri primi possono essere scritti come somma di due quadrati è un problema molto più generale, ulteriormente generalizzabile e la soluzione richiede l’impiego di tecniche particolari e complesse.

 

«Profondo» va anch’esso inteso in senso particolare. Hardy immagina che le idee matematiche siano disposte a strati, in maniera tale che per comprendere le idee di uno strato più profondo sia necessario comprendere quelle dello strato precedente. Quindi più andiamo a fondo, più le idee saranno complesse da comprendere, ma saranno sempre più sofisticate e collegate a un numero sempre più vasto di altre idee matematiche. Un teorema è dotato di una certa «profondità» se coinvolge strati molto profondi del terreno matematico e dunque ha un contenuto sofisticato e complesso che collega tra loro idee anche molto diverse.

 

Ma, come dicevamo, non è solo il contenuto a rendere bello un teorema, ma anche la sua forma, la quale può essere più o meno elegante. L’esempio di cui sopra, ad esempio, presenta un problema numerico che poteva essere risolto semplicemente per tentativi. Questa soluzione è sicuramente poco elegante, perché richiede poche idee ma molti calcoli. Secondo Hardy, invece, la bella matematica è «inaspettata», «inevitabile», ed «economa»: nel trattare i suoi contenuti, cioè, una bella dimostrazione farà uso del minor numero di passaggi logici e di strumenti possibile («economa»), mediante percorsi originali e apparentemente divergenti («inaspettata») e giungendo alle sue conclusioni senza possibilità di appello («inevitabili»).

 

Il miglior modo per rendere l’idea di ciò che Hardy intende con «bella matematica» è riportare la dimostrazione che egli stesso utilizza come esempio nel suo libro: la dimostrazione dell’infinità dei numeri primi di Euclide, che è anche una meravigliosa testimonianza di come, proprio come l’arte, la matematica è eterna. Un numero primo naturale è un numero divisibile solo per 1 e per sé stesso. I numeri primi saranno dunque, come ben sappiamo: 2, 3, 5, 7, 13, ecc… (1 non è considerato primo per motivi tecnici). Potremmo chiederci se tali numeri siano infiniti. Per dimostrarlo si procede per assurdo, ovvero supponendo che ciò sia falso. Immaginiamo che ci sia un numero finito di numeri primi e consideriamo l’insieme ordinato di tutti questi: 2, 3, 5, 7…P.

 

A questo punto consideriamo il numero Q = (2 × 3 × 5 × … × P) + 1.

Q non è divisibile per nessuno dei primi nel nostro insieme, perché la divisione dà resto 1. Allora o è esso stesso primo o è divisibile per un primo che sta fuori dal nostro insieme. In entrambi i casi esiste un primo che non fa parte dell’insieme da cui eravamo partiti. Abbiamo trovato una contraddizione, e questo significa che è la premessa da cui siamo partiti ad essere sbagliata: non può esistere un insieme finito che contenga tutti i numeri primi. Ergo, i numeri primi sono infiniti. Questa dimostrazione ha tutte le qualità che abbiamo enunciato prima. Il suo contenuto è di fondamentale importanza nella matematica, basti pensare ai numeri primi come a dei mattoncini che costruiscono i numeri naturali, a partire dai quali viene costruito tutto il nostro sistema numerico.  Studiare i numeri primi vuol dire indagare le basi della matematica, e tutt’ora esistono celebri problemi aperti che li riguardano. Inoltre, la forma della dimostrazione è una delle più brillanti e usate in matematica: utilizza pochissimi passaggi logici, tutti elementari, e segue un percorso apparentemente tortuoso e illogico ma che giunge con chiarezza alle conclusioni.

 

Ma vi è anche un secondo tipo di bellezza matematica, presentato da Carlo Rovelli nella prima delle sue Sette brevi lezioni di fisica, dedicata alla teoria della relatività generale, che Rovelli definisce «la più bella delle teorie». Il perché viene spiegato in una manciata di pagine, ma con motivazioni inoppugnabili.

 

Il concetto fisico che sta dietro la relatività generale ha rivoluzionato il nostro modo di vedere l’universo: ha introdotto in pratica  l’idea che la massa curvi lo «spazio-tempo». Tuttavia, più che addentrarci nel contenuto della teoria, in questo caso è interessante fare attenzione alla forma. Per formalizzare la sua teoria Einstein ha utilizzato una teoria matematica elaborata da Bernhard Riemann alla fine dell’Ottocento per descrivere le superfici curve. La vera “magia” matematica sta nel fatto che, utilizzando la matematica di Riemann, tutta la teoria di Einstein – e dunque buona parte della nostra comprensione dell’universo – può essere contenuta in una riga. Rovelli riporta la formula per il semplice gusto di apprezzare questo piccolo miracolo, senza neanche tentare di decifrarlo:

eins

Citando Rovelli: «Ci sono capolavori assoluti che ci emozionano intensamente, il Requiem di Mozart, l’Odissea, la Cappella Sistina, Re Lear…coglierne lo splendore può richiedere un percorso di apprendistato. Ma il premio è la pura bellezza». Si parla dunque di bellezza, in questo caso di una bellezza condivisa tra matematica e fisica. Da una parte una teoria rivoluzionaria, dall’altra una formalizzazione compatta ed elegante, in grado di esprimere un contenuto concettualmente molto complesso in pochi simboli inequivocabili, almeno per coloro in grado di comprenderli. La capacità della matematica di sintetizzare aspetti anche molto complessi della realtà era già stata intuita da Galileo, tanto che, con una celebre frase, definì questa disciplina «il linguaggio in cui è scritto l’universo». È dunque “bella” anche quella matematica che, pur non descrivendo le forme astratte e puramente logiche di Hardy, permette di esprimere un fenomeno fisico in poche, eleganti formule.

 

La bellezza della matematica può acquistare, dunque, forme e contenuti variegati. E allo stesso modo, quindi, i matematici, eccentrici, fieri del loro linguaggio incomprensibile, dei loro simboli strani, delle loro elaboratissime costruzioni mentali, sono, in fondo, degli esteti.

 

Per saperne di più: G. H. Hardy, Apologia di un matematico, Milano: Garzanti, 2015.

Carlo Rovelli, Sette brevi lezioni di fisica, Milano: Adelphi, 2014.

 

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