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7 febbraio 2018

Particelle identiche e indistinguibili

di Silvia Ferri

La fisica delle particelle è popolata da una grande quantità di nomi buffi, non solo i familiari elettroni, protoni e neutroni, ma anche leptoni, mesoni, adroni, bosoni, fermioni, fino a nomi fantasiosi come i gluoni, giusto per citarne alcuni. Anche i fisici talvolta provano un senso di spaesamento dinanzi a questa mole di denominazioni, tanto che lo stesso Enrico Fermi affermò: «Se mi ricordassi il nome di tutte queste particelle, sarei un botanico». Oggi ci concentreremo soltanto su due di essse, bosoni e fermioni, cercando di capire quali proprietà essi identificano, ma soprattutto come tali proprietà discendano da una caratteristica peculiare degli oggetti elementari detta indistinguibilità.

Tutti avranno una certa familiarità con la parola “bosone” (che deriva dal nome del fisico indiano Bose), se non altro per la grande risonanza mediatica riscossa dal bosone di Higgs, mentre suona forse meno familiare “fermione” (che deve il suo nome proprio a Enrico Fermi). Queste parole identificano due grandi classi in cui sono suddivise tutte le particelle (per esempio, gli elettroni appartengono alla classe dei fermioni e i fotoni alla classe dei bosoni), ma per capire da cosa siano caratterizzate tali classi dobbiamo riflettere sulle proprietà di base delle particelle elementari e sulla loro identità, indissolubilmente legata al concetto di indistinguibilità.

Pensando alla particella solitamente si immagina una pallina minuscola e possiamo servirci di questo concetto intuitivo, senza addentrarci nella questione della dualità onda-corpuscolo, per illustrare il problema.

Le palline a cui pensiamo sono dotate di alcune proprietà che nel mondo macroscopico non si realizzano in maniera esatta; al di là delle dimensioni, la cosa importante è che particelle dello stesso tipo sono tutte identiche, ovvero due elettroni sono identici tra loro, due fotoni sono identici tra loro, e così via. Possiamo pensare a oggetti identici anche nel mondo macroscopico: due palline da tennis sono identiche. Quest’ultima affermazione è vera solo entro una certa approssimazione, dal momento che potrebbero esserci delle imperfezioni impercettibili a occhio nudo che rendono le due palline non perfettamente identiche: per esempio, una potrebbe risultare leggermente più leggera se ricorressimo a strumenti di misurazione estremamente precisi. Al contrario, le particelle sono sempre esattamente identiche e potremmo dire che nel mondo microscopico il concetto di identità è perfetto, senza margine di errore.

Tuttavia, l’ identità è un concetto diverso dall’ indistinguibilità . Indistinguibilità significa semplicemente, alla lettera, che non siamo in grado di distinguere due oggetti. Due oggetti identici possono comunque essere distinguibili in base alla posizione: prendiamo le nostre due palline da tennis identiche, ammettiamo di non disporre di strumenti abbastanza precisi da poterle distinguere in base alle loro caratteristiche fisiche, ma occuperanno sempre due posizioni distinte; dunque, se a un certo istante chiamiamo « pallina A » quella che sta a sinistra e « pallina B » quella che sta a destra, e seguiamo poi istante per istante gli spostamenti di ciascuna pallina, saremo sempre in grado di dire quale delle due è la   « pallina A » e quale la « pallina B » ; dunque le due palline sono identiche ma distinguibili. È utile sottolineare (ci ritorneremo più tardi) che, affinché oggetti identici siano distinguibili, occorre assumere, come nell’esempio delle palline da tennis, di essere in grado, almeno in linea di principio, di determinarne la traiettoria istante per istante.

Abbiamo detto che le palline ideali a cui pensiamo quando parliamo di particelle hanno la proprietà di essere identiche; aggiungiamo ora il fatto che sono anche indistinguibili. Il concetto di indistinguibilità viene anticipato dalla meccanica statistica e diventa poi fondamentale in meccanica quantistica. La meccanica statistica è una branca della fisica che studia il comportamento di sistemi composti da un numero molto grande di sottosistemi, come per esempio un gas che è composto da un numero molto grande di particelle. Sistemi del genere sono descritti dalla termodinamica classica dal punto di vista macroscopico mediante grandezze globali, dette variabili termodinamiche (pressione, volume, temperatura…) che non tengono conto del comportamento specifico delle singole particelle. Ciascuna di queste grandezze tuttavia ha anche una interpretazione microscopica (per esempio la pressione è dovuta agli urti delle particelle contro le pareti del contenitore) ed è originata dal comportamento medio delle particelle: questo approccio microscopico è quello seguito dalla meccanica statistica.

Ogni particella è caratterizzata da una serie di variabili, come la posizione o la velocità, che ne specificano lo stato: a ogni stato corrisponde un’energia. Possiamo quindi scegliere di etichettare gli stati in base alla loro energia; possono esserci più stati che hanno la stessa energia. Lo stato del sistema complessivo, detto microstato, specifica quante particelle corrispondono a ciascun valore dell’energia. Il valore delle variabili termodinamiche globali quali pressione, volume, temperatura costituisce invece il macrostato, che non tiene conto del comportamento delle singole particelle. Uno degli approcci possibili in meccanica statistica consiste nel contare quanti microstati corrispondono allo stesso macrostato. Da questa informazione siamo poi in grado di risalire al calcolo delle funzioni termodinamiche studiate dalla termodinamica classica e confrontare i risultati previsti con i dati sperimentali.

Senza scendere nei dettagli, possiamo osservare che il conteggio degli stati cambia in base al fatto che consideriamo le particelle distinguibili oppure indistinguibili. Una piccola metafora chiarirà questo aspetto.

Etichettando gli stati delle particelle in base al valore dell’energia, immaginiamo di avere a disposizione una libreria in cui ogni scaffale corrisponde a un certo valore dell’energia, e che le nostre particelle che compongono il sistema siano libri da disporre negli scaffali. Supponiamo per semplicità di avere 10 libri da disporre in 3 scaffali; mettiamo per esempio 5 libri nel primo scaffale, 3 libri nel secondo scaffale e 2 libri nel terzo: questo è uno  stato fissato del nostro sistema. Se i libri sono distinguibili, per esempio se hanno tutti copertine diverse, questo è l’unico modo di ottenere lo stato fissato in questione, perché se scambiamo due libri otterremo uno stato che è diverso da quello precedente. Ma se invece i libri sono indistinguibili, data questa configurazione, possiamo scambiare tra loro due libri, e lo stato del sistema non cambia. Dunque in tal caso avremo più microstati corrispondenti allo stesso macrostato: vediamo che il conteggio avviene in maniera diversa a seconda che consideriamo le particelle distinguibili o indistinguibili. Interessante è che, come si è detto, in base a questo conteggio possiamo calcolare le funzioni termodinamiche e confrontarle con i dati sperimentali; guardandola dalla prospettiva opposta, in base ai dati sperimentali siamo in grado di dire se il conteggio giusto per ottenere tali dati sia quello che considera le particelle distinguibili o indistinguibili. Con grande sorpresa, si trova che il risultato giusto si ottiene considerando le particelle indistinguibili.

Questo risultato è abbastanza sbalorditivo dal punto di vista classico e viene assunto come dato di fatto in meccanica statistica, poiché non sembra esserci nessun motivo particolare per cui le particelle dovrebbero essere indistinguibili: oggetti identici, come si è visto, possono essere distinti in base alla posizione. Ritorniamo a quanto detto poco sopra: ciò è valido solo se assumiamo, almeno in linea di principio, di poter determinare istante per istante con esattezza la posizione di un corpo, ovvero la sua traiettoria. Questo è vero in meccanica classica, mentre in meccanica quantistica il concetto di traiettoria perde di significato e ciò che siamo in grado di determinare è solo la probabilità che, effettuando una misura, troviamo un corpo in una certa posizione a un certo istante di tempo. È chiaro che in questo quadro non deterministico non è più possibile distinguere oggetti identici seguendone la traiettoria istante per istante, poiché il concetto stesso di traiettoria non è ben definito, non per un’insufficienza legata ai mezzi di misura, ma per principio. Dunque l’indistinguibilità che in meccanica statistica emerge come un dato di fatto in meccanica quantistica trova una giustificazione teorica.

Addentrandoci nel terreno della meccanica quantistica, cerchiamo di vedere le conseguenze dell’indistinguibilità. In meccanica quantistica un sistema fisico è descritto da un oggetto matematico chiamato funzione d’onda che associa a ogni stato un numero complesso. Tuttavia, una funzione d’onda non può essere messa in relazione diretta con nulla di misurabile, bensì ciò che possiamo misurare (detto osservabile) si ottiene effettuando sulla funzione d’onda un’operazione matematica chiamata « modulo quadro » , che ci restituisce la probabilità associata all’esito di una misura effettuata sullo stato in questione ed è importante sapere che possono esserci funzioni diverse che hanno lo stesso modulo quadro. Poiché le particelle sono indistinguibili, se partiamo da un certo stato e scambiamo due particelle ottenendo un nuovo stato, non deve esserci alcun effetto misurabile che ci permetta di distinguere tra i due stati, poiché ciò sarebbe in contraddizione con il concetto stesso di indistinguibilità; ovvero le osservabili devono essere invarianti per scambio di particelle. Abbiamo detto che l’osservabile non è direttamente la funzione d’onda che descrive lo stato del sistema, perciò essa può subire certi cambiamenti a patto di non modificarne il modulo quadro, che è l’osservabile. Dunque la domanda da porsi ora è: quali cambiamenti della funzione d’onda, conseguenti all’aver scambiato tra loro delle particelle, sono ammessi?

L’operazione di scambiare tra loro degli oggetti è descrivibile matematicamente con un’operazione detta permutazione . Studiando le proprietà del gruppo delle permutazioni si ottiene che, affinché il modulo quadro non cambi in seguito allo scambio di particelle, sono possibili solo due classi di funzioni, dette simmetriche e antisimmetriche.

Una funzione è detta simmetrica se scambiando gli argomenti rimane invariata, mentre è detta antisimmetrica se scambiando gli argomenti cambia di segno. Consideriamo, per esempio, una funzione di due argomenti x e y , che descrivono gli stati di due particelle; un esempio di funzione simmetrica è:

f(x,y) = x + y

in quanto f(y,x) = y + x = x + y = f(x,y).

Un esempio di funzione antisimmetrica è

f(x,y) = x − y

in quanto f(y,x) = y − x = − (x − y) = − f(x,y).

Qualsiasi sistema fisico deve essere descritto da una funzione d’onda che rientra necessariamente in una di queste due classi: chiamiamo i sistemi descritti da funzioni d’onda simmetriche « bosoni » e quelli descritti da funzioni antisimmetriche « fermioni » .

Una conseguenza immediata di questo fatto è il ben noto principio di Pauli, valido per i fermioni, il quale afferma che due particelle non possono occupare lo stesso stato. Ciò si vede immediatamente inserendo in una funzione d’onda antisimmetrica due argomenti uguali, corrispondenti all’operazione ipotetica di mettere due particelle nello stesso stato: si ottiene f(x,x) = x − x = 0, ovvero, poiché il modulo quadro di 0 è 0, la probabilità che tale situazione si realizzi è nulla: due fermioni non possono occupare lo stesso stato. È anche evidente che esso non è valido per i bosoni, poiché una funzione d’onda simmetrica non si annulla inserendo argomenti uguali.

Grazie a queste due classi di particelle, fermioni e bosoni, siamo in grado descrivere il mondo che ci circonda, che è composto di materia e di interazioni. In particolare, i fermioni descrivono la materia e i bosoni le interazioni. Il fatto che il Principio di Pauli sia valido per i primi e non per i secondi ne determina le proprietà e dà origine a tutti i fenomeni che conosciamo, dal comportamento dei semiconduttori (che sono alla base dell’elettronica), a fenomeni quali la condensazione di Bose-Einstein che dà origine alla superconduttività, largamente sfruttata nella costruzione di bobine e magneti efficienti che sono alla base delle tecnologie usate nella risonanza magnetica nucleare o negli acceleratori di LHC al CERN. Tutto ciò consegue, in ultima analisi, dalla proprietà delle particelle elementari di essere identiche e indistinguibili.

 

 

Per saperne di più

Per approfondire il problema si può sfogliare il volume di G. Morandi, F. Napoli, E. Ercolessi, Statistical mechanics: an intermediate course, World Scientific 2001.


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