27 agosto 2018

Ontologia delle scienze: essenza ed esistenza nella matematica contemporanea

di Daniele Artico

Il 1999 segna un momento di svolta nell’analisi del lavoro artistico di Jackson Pollock: il fisico Richard Taylor applica con due colleghi tecniche di analisi dei frattali ad alcuni quadri dell’artista, da cui risulta come questi presentino caratteristiche di autosomiglianza e ripetizione su scale diverse di motivi ricorrenti. Le dispute scientifiche su questo lavoro porteranno negli anni successivi gli autori dello studio a sviluppare tecniche simili con le quali verranno smascherati falsi capolavori dell’artista, e lo stesso Benoît Mandelbrot, scopritore dell’insieme frattale che porta il suo nome, scenderà in campo dichiarando: «I do believe that Pollocks are fractal».

 

Quella del 1999 non fu la prima volta in cui i frattali ed altri nuovi concetti geometrici si intersecarono con le espressioni artistiche: tra gli altri Italo Calvino, che spesso ha sperimentato simili commistioni nei suoi racconti, descrive ne Il Conte di Montecristo una prigione di If in cui «la fortezza non ha punti privilegiati: ripete nello spazio e nel tempo sempre la stessa combinazione di figure»; il luogo trascende il mondo tridimensionale estendendosi in geometrie diverse, intersecandosi con le battaglie di Napoleone e lo studio di Dumas.

 

Edmond Dantes è l’uomo matematico dello scrittore Robert Musil, che pratica «un’ostentazione di audacia della pura ratio; uno dei pochi lussi oggi ancora possibili»; è soprattutto il filosofo della matematica del Novecento immerso in uno spazio che va oltre il sensibile, un iperspazio appunto, e che non può più comprendere appieno senza una nuova riflessione sulla geometria, la matematica e il reale. I suoi compagni furono i membri del citato gruppo francese «nell’ingrato paese della filosofia delle scienze», come due di loro, Jean Cavaillès e Albert Lautman, chiamarono il campo di studi nelle lettere che si scambiarono; oltre ai due citati, furono membri dello stesso movimento il maestro Brunschvicg e Gaston Bachelard, Abel Rey, Gaston Milhaud e in Italia il matematico Federigo Enriques. Il denominatore comune: il considerare la scienza come “pensiero”, come esperienza umana alla quale è impossibile negare l’ implicita dimensione storica; in definitiva, il nucleo teorico da cui nasce il “tetraedro epistemologico-ermeneutico” di Dario Antiseri, un metodo di analisi filosofica basato su storia, scienza, epistemologia ed ermeneutica attraverso il quale si giunge a una più completa comprensione delle teorie.

 

Nel pensiero del Novecento, si manifesta l’esigenza da parte di diverse discipline di tornare su questioni mai risolte per affrontarle con gli strumenti e i punti di vista più recenti - indicativa è in questo senso la fondazione nel 1900 della Revue de synthèse historique da parte di Henri Berr. E il rapporto tra essenza ed esistenza è senza dubbio il vertice di questa piramide di esigenze filosofiche, sconfinando dalla speculazione metafisica in settori nuovi e impensati come la filosofia della scienza francese, che, in opposizione al contemporaneo circolo viennese, abbandona il problema dei fondamenti della matematica per concentrarsi sulla sua egualmente problematica struttura attraverso la quale si giunge ad una conoscenza matematica. L’esigenza appare più che giustificata, ricordando come in quegli stessi anni pensatori del calibro di Heidegger e Husserl si avvicinano da strade diverse ad un ripensamento dello stesso tema. Se per Cartesio il principio del metodo è il dubbio su ciò che crediamo reale, una nuova via può cominciare dal dubbio su quello che, al contrario, intuitivamente reale non è.

 

 

 Illustration_of_great-circle_distance.svg

 

Si può dire che Euclide sia stato il “padre da uccidere” dei matematici di fine Ottocento e inizio Novecento: la negazione della nozione comune che il tutto sia maggiore della parte ha dato il via allo studio degli insiemi infiniti, e la sfida al celebre quinto postulato, cominciata da Aristotele, ebbe nello studio del lavoro di Girolamo Saccheri da parte di Gauss, Bolyai e Lobačevskij una conclusione in precedenza a stento ritenuta possibile, la nascita di nuovi sistemi di geometria. L’immagine mostra ciò che il concetto di retta (intesa come linea di minima lunghezza che unisce due punti) diventa passando dal muoversi su un piano al muoversi su una sfera: una circonferenza di massimo diametro; fenomeno matematico di cui facciamo esperienza ogni volta che, salendo su un aereo per New York, ci troviamo in volo sopra la Groenlandia. Lo studio di tali nuovi tipi di oggetti geometrici, e in particolare della loro «irragionevole efficacia» (E. Wigner) nelle teorie fisiche contemporanee, fu senza dubbio ciò che spinse Einstein a chiedersi come questa corrispondenza tra matematica e realtà fisica fosse possibile e i filosofi della scuola francese a interrogarsi sul significato profondo di tali convergenze.

 

Proprio il lavoro più celebre del fisico tedesco, la relatività generale, risulta al centro delle speculazioni di Albert Lautman sui rapporti tra fisica e matematica e, soprattutto, tra realtà fisica e realtà matematica; a tale teoria egli dedica alcune delle pagine più dense del suo lavoro per il Congresso internazionale di filosofia della scienza del 1935, in cui la corrispondenza tra geometria e materia nell’equazione di Einstein diventa una delle chiavi per la critica all’approccio carnapiano che considera «i rapporti fra matematiche e fisica simili a quelli fra la forma e la materia», mentre invece la fisica moderna «lungi dal tenere distinte la forma geometrica e la materia fisica, unisce al contrario dati spazio-temporali e dati materiali».

 

Tale schema di pensiero porta Lautman a riproporre la domanda einsteiniana in nuova forma, domandandosi come «una geometria differenziale possa diventare teoria della gravitazione», questione per lui centrale in quanto la struttura della conoscenza e della realtà matematica risultava un problema che la visione standard del Circolo di Vienna relegava nell’angolo dell’irrilevanza, concentrandosi sul logischer Aufbau der Welt (costruzione logica del mondo). Naturalmente, tutto questo presuppone la necessità di una riflessione sul rapporto tra essenza ed esistenza in matematica, prima ancora che in fisica matematica, dove il rapporto tra il reale matematico e quello fisico rende la questione più sfaccettata; ma certamente degno di nota risulta lo svincolarsi dall’idea che «le matematiche fornirebbero il sistema di coordinate entro cui si iscrivono i dati fisici».

 

La geometria torna in Lautman al centro della questione della natura delle matematiche. Egli si svincola dalla nozione quasi pitagorica della centralità del Numero tornata in voga con Carnap e Gödel, due filoni: quello indiano, fondato sulla nozione di numero, e quello greco, legato all’«idea geometrica di campo», per lui più intimamente connesso al pensiero di Hilbert, al quale tutti cercavano al tempo di ricondurre le proprie speculazioni. Per Lautman infatti, «l’assiomatica di Hilbert [...] tende al contrario a fare derivare da ogni campo studiato un sistema di assiomi». Lo stesso Weyl è autore di un altro dei testi di riferimento di Albert Lautman, Gruppentheorie und Quantenmechanik, in cui matematica e fisica procedono nettamente affiancate intersecandosi in modo inestricabile tramite una delle teorie più note al pensatore francese: la teoria dei gruppi.

 

Un gruppo è un insieme di oggetti su cui è definita un’operazione associativa con inverso e identità, tale che il “prodotto” di due elementi appartenga ancora al gruppo: ad esempio, le rotazioni nel piano formano un gruppo, in quanto componendo due rotazioni, cioè praticandole in successione, si ottiene un’altra rotazione data dalla somma dei due angoli. Proprio da questo ultimo esempio se ne intuisce l’importanza in fisica, dove spesso sono legati a trasformazioni di simmetria, quali sono le rotazioni, le traslazioni e i boost (trasformazioni di velocità in relatività speciale). La natura della loro operazione di composizione li rende meglio comprensibili tramite la loro rappresentazione con le matrici: ogni gruppo ha un numero ben preciso di rappresentazioni irriducibili ad altre più elementari, pari al numero delle sue classi di equivalenza, intuitivamente raggruppamenti di elementi legati tra loro da un’operazione matematica detta coniugio.  Tale teoria nasce con Évariste Galois, matematico prodigio morto a soli 20 anni in un duello dai possibili retroscena politici (aveva dato prova di essere antimonarchico), fatto che lo accomunerebbe ad Albert Lautman e Jean Cavaillès, fucilati dai nazisti durante la guerra in quanto membri della Resistenza.

 

 

Dalla riflessione sulla teoria dei gruppi ed in particolare dalla loro proprietà prima espressa, Albert Lautman compie il primo passo che due anni dopo il Congresso del 1935, al successivo Congrès Descartes, lo porta a riflettere de la réalité inhérente aux théories mathématiques, sulla realtà inerente alle teorie matematiche. Tale realtà non si mostra nel momento in cui si considerano come reali taluni oggetti matematici, come un certo neoplatonismo ingenuo voleva far credere, bensì dal «movimento tipico di una teoria matematica», in cui si mostra uno «schema di legami in posizione preminente rispetto alle teorie». Un esempio di legame portato da Lautman, che tra i primi approccia il problema alla luce delle effettive teorie matematiche, è quello tra essenza ed esistenza; legame che dove è possibile «ha luogo da un genere di ente ad un altro genere di ente». Così l’essenza di un gruppo, la sua struttura definita dalle classi di equivalenza si riflette nell’esistenza di un uguale numero di rappresentazioni irriducibili.

 

È chiaro che una realtà matematica così costruita è più complessa da cogliere rispetto all’approccio inaugurato da Cartesio che vede il numero sorgere dall’«io penso» (dal riconoscere il corpo dell’altro come simile al mio, e al contempo altro da me, come Husserl evidenza nelle Meditazioni Cartesiane), ma fa sua in senso più profondo la lezione dei maestri Heidegger e appunto, Husserl. L’analisi non può infatti prescindere dal manifestarsi delle matematiche «nell’atto dell’intelligenza che crea o comprende» ma che comunque non produce la realtà di esse, e tale concetto ricorda la riduzione fenomenologica che, pur non ripudiando l’obiectum reale, fissa l’attenzione sull’atto compiuto nel conoscerlo. Non manca in ogni caso l’influenza del pensiero platonico, filtrato certo dalle rielaborazioni del pensiero novecentesco e del razionalismo medievale facente parte del filone religioso, la cui influenza sul pensiero scientifico è in corso di approfondimento da tempi recenti (il rapporto essenza-esistenza così come inteso in Lautman non può che ricordare le speculazioni di Tommaso D’Aquino).

 

Concludendo, con le parole di Lautman, «vogliamo solo indicare qui la conclusione platonica che tali ricerche sembrano imporci: la realtà inerente alle teorie matematiche proviene dalla loro partecipazione ad una realtà ideale in posizione preminente rispetto alla matematica, ma conoscibile solo attraverso di essa».

 

 

Per saperne di più:

 

Il pensiero di Lautman è splendidamente esposto in La matematica come resistenza a cura del prof. Mario Castellana, nel quale viene suggerito anche un suggestivo parallelismo tra la resistenza all’uniformità culturale attorno al Circolo di Vienna e quella al Nazifascismo. Nello stesso libro vengono citati matematici e filosofi contemporanei, quali Alain Connes e lo stesso Dario Antiseri, il cui pensiero riprende alcune delle tematiche esposte. Per una diversa introduzione al problema, il citato libro del premio Nobel per la fisica Eugene Wigner L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali è di ottimo livello. Più tecnica la ricerca sulla sottile differenza tra neoplatonismo puro e tale approccio alla luce degli scritti di Husserl e Heidegger. Del primo si può indicare La teoria del significato, ad esempio; per questo articolo in particolare si è fatto ampio uso dell’Annuario Filosofico del Centro Luigi Pareyson di Torino, specializzato in studi filosofico-religiosi. Infine, i Racconti matematici raccolti da Claudio Bartocci sono una inesauribile fonte di ispirazione.

 

L'immagine di copertina è un dipinto di Jackson Pollock dal titolo Blue Poles: Number 11 (1952). L’immagine è disponibile in licenza creative commons all’indirizzo https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bluepoles.jpg.
La figura nel corpo del testo è disponibile in licenza creative commons all’indirizzo https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Illustration_of_great-circle_distance.svg.

© Istituto della Enciclopedia Italiana - Riproduzione riservata

0