La dinamica del caos

Una trattazione moderna del caos deterministico con un esempio numerico da proporre in classe.

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RIFERIMENTI DIDATTICI

Il padre riconosciuto della dinamica del caos è Jules-Henri Poincaré. I suoi contributi, alla fisica e matematica, sono moltissimi. Tra gli altri, l’affermazione del formalismo diHamilton-Jacobi nella meccanica che non è, per le difficoltà intrinseche, oggetto di questa lezione. L’opera del grande fisico-matematico francese, autore di più di cinquecento articoli e di almeno trenta libri nella sua lunga carriera, è in parte reperibile in rete. Anche solo limitandosi al problema dei tre corpi la letteratura primaria e secondaria è vastissima e con livelli di approfondimento assai diversi. Un sunto del problema, con pochissime espressioni, è riportato da Poincaré stesso in un breve articolo divulgativo: H. Poincaré, Le problème des trois corps, Revue générale des sciences pures et appliquées, 1891.

La vicenda storica può essere seguita a partire dal saggio di June Barrow-Green, L’Ottocento: astronomia. Il problema dei tre corpi e la stabilità del sistema solare. Per gli aspetti più propriamente tecnici non esiste invece un unico riferimento adatto a livello liceale per l’introduzione della meccanica celeste di fine secolo. Infine per la filosofia del caos deterministico tutti richiamano un brano sul caso tratto dalla raccolta di saggi: H. Poincaré, Scienza e metodo, Einaudi, 1997. Vale la pena riportare, prima delle conclusioni dell’autore, l’esempio meccanico, spesso omesso, che Poincaré associa alle sue considerazioni.

Per trovare una […] definizione del caso […] sceglieremo come primo esempio quello dell’equilibrio instabile. Se un cono poggia sul proprio vertice, sappiamo bene che esso finirà col cadere, ma non sappiamo da quale parte: ci sembra che il solo caso potrà deciderlo. Se il cono fosse perfettamente simmetrico, se il suo asse fosse perfettamente verticale, se non fosse soggetto a nessuna altra forza oltre la gravità, esso non cadrebbe affatto. Ma il minimo difetto di simmetria lo farà pendere leggermente da una parte o dall’altra, e non appena si troverà a pendere, seppure di pochissimo, cadrà precisamente da quella parte. E se anche la simmetria fosse perfetta, basterà una lievissima vibrazione, un refolo d’aria, a farlo inclinare di pochi secondi d’arco, il che sarà sufficiente a determinare non solo la sua caduta, ma anche la direzione di quest’ultima, che sarà quella dell’inclinazione iniziale. Una causa minima, che ci sfugge, determina un effetto considerevole, del quale non possiamo non accorgerci: diciamo allora che questo effetto è dovuto al caso.” (pp. 55-56)

fig. 1 Un esempio di equilibrio instabile

L’immagine equivalente può essere considerata quella di una sfera perfetta nel punto più alto di una ripidissima e simmetrica collinetta. Anche qui l’instabilità porta alla stessa situazione precedente e corrisponde alla scelta casuale effettuata da una persona con il lancio di una moneta per decidere quale strada prendere in un bivio. Il comportamento di sistemi dinamici in prossimità delle instabilità era stato uno dei problemi affrontati da Poincaré. In particolare la meccanica celeste di fine Ottocento affrontava l’interazione gravitazionale di n corpi attraverso una teoria perturbativa e l’utilizzo di sviluppi in serie. Il premio del re di Svezia Oscar II, bandito nel 1885 fu assegnato nel 1889 dalla giuria dei matematici (Karl Weierstrass, Charles Hermite e Gösta Mittag-Leffler) a Poincaré. Il lavoro del francese, dopo alcuni rilievi dei matematici, portò a diverse stesure, al macero della prima edizione, infine alla pubblicazione di una memoria sul problema dei tre corpi in cui era finalmente chiaro che la questione non aveva per qualsiasi condizione iniziale una soluzione. I nuovi metodi per lo studio qualitativo delle perturbazioni delle orbite periodiche furono infine pubblicati, tra il 1892 e il 1899, in tre volumi che rappresentarono la base della nuova meccanica. Tra le numerosissime citazioni possibili, mi piace riportarne una tratta dai primi lavori del giovane Enrico Fermi del 1924 su un campo apparentemente assai lontano da quello di meccanica celeste:

 “Finora sono stati quasi unicamente preso in considerazione nella teoria dei quanti quei sistemi [il cui] movimento si può considerare come risultante di moti periodici […] esaurito lo studio delle strutture atomiche più semplici […] si vanno presentando con sempre maggiore insistenza i problemi che non ammettono coordinate angolari, primo fra tutti il problema dei tre corpi, che si presenta nello studio dell’atomo di elio, e la forma semplificata del problema dei quattro corpi che si presenta nello studio delle molecole di idrogeno.” (E. Fermi, Note e Memorie, Volume I, Accademia Nazionale dei Lincei, 1962, p. 92).

Per capire meglio le affermazioni del giovane teorico italiano conviene ritornare all’inizio della meccanica celeste. Già nell’Almagesto, Tolomeo, con il sistema di deferenti ed epicicli, tentò di ridurre le orbite dei corpi celesti osservati dalla Terra a un insieme di moti circolari ognuno caratterizzato da una propria frequenza. Per questi moti detti oggi quasi periodici è possibile risolvere esattamente il problema meccanico e individuare coppie di grandezze (azione A e angolo φ) per le quali l’azione rimane costante e l’angolo è una funzione lineare del tempo. Indipendentemente dalle condizioni iniziali i moti quasi periodici sono sempre composti da un numero finito di moti circolari. Tutti i principali problemi di meccanica completamente risolubili anche dopo Newton furono ricondotti a moti quasi periodici, con la notevole semplificazione che la legge di gravitazione permetteva spesso la determinazione della funzione multiperiodica e limitava il numero delle frequenze indipendenti. Inoltre non vi era più la distinzione tra meccanica celeste e meccanica. Se si considerano oggi le piccole oscillazioni di un pendolo intorno alla posizione di equilibrio stabile. Nell’ipotesi ideale che si possano trascurare gli attriti, i diversi punti a energia costante che individua il pendolo durante le oscillazioni possono essere rappresentati in un piano degli angoli e delle pulsazioni. Nello spazio delle fasi, la coppia di coordinate, che individua lo stato del sistema, forma un’ellisse (si veda la corrispondente lezione ). Aumentando l’energia, la curva chiusa si modifica con ellissi aventi assi di dimensione crescente. Se il pendolo non viene considerato solo per piccole oscillazioni ed è inoltre forzato da un’oscillazione periodica esterna le curve nello spazio degli stati possono assumere forme più complesse corrispondenti alle oscillazioni e alle rotazioni del pendolo che può superare adesso il punto di equilibrio instabile rappresentato dalla posizione opposta (angolo uguale a ±180°) a quella dell’equilibrio stabile.

fig.2 I due punti di equilibrio del pendolo: stabile e instabile; fig.3 Un pendolo senza attrito che può oscillare o ruotare al variare della sua energia. Esso può descrivere nello spazio delle fasi (angolo, velocità angolare) delle ellissi (caso di librazione senza rotazioni) o delle curve aperte (rotazioni complete). La separatrice corrisponde al punto di instabilità del pendolo

Nello spazio delle fasi si presentano adesso varie regioni: quella delle ellissi in cui l’energia non raggiunge il punto più alto e il pendolo libra (oscilla); la seconda, in cui la rotazione completa del pendolo ha una pulsazione ω positiva; la terza, con rotazione completa e  ω negativo. Nelle curve contrassegnate in rosso nella fig. 3, il pendolo supera il punto di equilibrio instabile e non si arresta mai (l’ipotesi è che l’attrito sia trascurabile). Il passaggio delle diverse zone è delimitato da curve chiamate separatrici.

Per descrivere le perturbazioni nelle vicinanze di un’orbita periodica del sistema meccanico, Poincaré introdusse diversi metodi matematici che permisero di descrivere qualitativamente le orbite del sistema per tempi molto lunghi (asintotici). Il risultato dell’applicazione del metodo al problema dei tre corpi, interagenti secondo la legge di gravitazione, fu descritto da Poincaré con le parole: “Si cerchi di rappresentare figure formate da queste due curve […] Si rimarrà impressionati dalla complessità di queste figure che nemmeno tento di disegnare.

La perturbazione invece di mantenere orbite simili a quelle del sistema imperturbato creava un comportamento qualitativamente diverso e impredicibile: un insieme di orbite caotiche in cui non esisteva più nessuna separatrice. Simili comportamenti lo portarono a concludere (in uno dei brani più citati di Scienza e metodo): “Se conoscessimo con esattezza le leggi della natura e lo stato dell’universo nell’istante iniziale, potremmo prevedere quale sarà lo stato di questo stesso universo a un istante successivo. Ma quand’anche le leggi naturali non avessero per noi più segreti, potremo conoscere lo stato iniziale soltanto approssimativamente. Se ciò ci permette di conoscere lo stato successivo con la stessa approssimazione, non avremo bisogno d’altro, e diremo che il fenomeno è stato previsto, che esistono leggi che lo governano. Ma non sempre è così; una piccola azione a proposito delle prime produrebbe allora un errore enorme a proposito di questi ultimi. La previsione diventa impossibile; siamo di fronte al fenomeno fortuito.” (pag. 56)

Poincaré continuava le sue considerazioni con un secondo esempio sul caso, chiedendosi perché i meteorologi trovano così grande difficoltà a fare previsioni del tempo aventi una certa attendibilità. La risposta a questa domanda fu individuata, molti anni dopo, con la riscoperta del caos deterministico, avvenuta anche grazie all’impiego dei calcolatori. Edward Norton Lorenz propose nel 1963 un modello semplificato di dinamica dei gas descriventi l’atmosfera. L’evoluzione del sistema non poteva essere studiato con una precisione fissata se non per tempi brevi. Piccole variazioni nelle condizioni iniziali (il battito di ali di una farfalla in una delle successive esposizioni di Lorenz) potevano produrre su tempi lunghi variazioni catastrofiche, passando da bel tempo a una situazione turbolenta. La dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali divenne uno dei tratti caratteristici di molti sistemi dinamici. Lo studio di sistemi caotici ebbe un massimo tra il 1960 e il 1990. Oggi la consapevolezza dei limiti della meccanica di alcuni grandi fisici dell’Ottocento è conoscenza comune.

fig.4 Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali

Vale la pena presentare con un certo dettaglio almeno alcuni elementi della meccanica di Poincaré e almeno un esempio matematico recente. Un modello iterativo avente soluzioni periodiche e caotiche fortemente dipendenti dalle condizioni iniziali.

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Meccanica del biennio.

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