La dinamica delle collisioni, impulso e quantità di moto.

_{Video: Crash test frontale con il tempo misurato in millesimi di secondo}

RIFERIMENTI DIDATTICI

La fisica delle collisioni è regolata dal secondo principio della dinamica. Il punto materiale che si considera è il centro di massa del sistema.

 L’importanza pratica della fisica degli urti è ovvia. Non è un caso se uno dei pochi quesiti che i colleghi pongono a noi  insegnanti di fisica è la verifica dei calcoli fatti dall’assicurazione sull’incidente che li ha coinvolti. In un’epoca basata sulla crescita dei trasporti di persone e merci in rapido movimento, inevitabilmente, si moltiplicano gli urti. La sicurezza delle persone all’interno dei mezzi è così affrontata con varie strategie, iniziamo da un’analisi delle caratteristiche dei materiali.

Nello spettacolare incidente ferroviario parigino del 1895 (v. fig. sotto) la locomotiva e alcuni vagoni congiungono il piano stradale esterno alla stazione di Montparnasse e le vetrate del piano elevato della stazione stessa. La motrice sembra quasi integra dopo aver sfondato le barriere, il muro e un volo di diversi metri di altezza. La locomotiva è costruita per resistere, il materiale è studiato per subire una piccola deformazione anche per urti intensi.

_{Fig.1 Incidente ferroviario parigino del 1895 alla stazione di Montparnasse}

 

Un esempio ancora più evidente è osservabile nelle gare automobilistiche di Formula 1, dove la carrozzeria di una monoposto, in urto frontale, sembra subire una sorta di esplosione (si veda la foto sotto dell’incidente di Robert Kubica nel circuito di Montreal del 2007), in cui migliaia di pezzi dell’auto, insieme agli pneumatici anteriori, si allontanano a grande velocità dall’abitacolo che protegge il pilota.

 _{Fig.2 Immagine dell’incidente di Robert Kubica nel circuito di F1 di Montreal nel 2007}

Se si vogliono ridurre le forze (quindi gli effetti) subiti dalle persone all’interno dei veicoli, bisogna massimizzare il tempo di durata dell’urto. Da un altro punto di vista, una parte consistente dell’energia cinetica dell’auto è utilizzata per la rottura dei legami dei materiali o nel lavoro degli sforzi di deformazione permanente.Nel caso delle auto non sportive, l’azione congiunta delle cinture di sicurezza e degli airbag frena l’impatto del conducente e dei passeggeri con le pareti interne dell’abitacolo. Gli airbag sono azionati attraverso sensori che misurano la decelerazione dell’auto nell’urto e hanno tempi di attivazione di pochi decimi di millisecondo (solitamente tra i trenta millisecondi e i cinquanta millisecondi). Essenziale a questo punto un poggiatesta morbido e inclinato per attutire il colpo che la testa riceve al termine della collisione quando, dopo l’impatto con l’airbag, ritorna all’indietro. La breve durata complessiva della collisione è studiata nei crash test con videocamere ad alta velocità capaci di riprendere migliaia di fotogrammi al secondo e con misure di accelerazione affidate a sensori. Se si analizza, con questi strumenti, l’urto di una palla elastica contro una parete (oggetti più semplici di un’auto contro un ostacolo di dimensioni ridotte) si nota la deformazione della pallina da baseball e la successiva elongazione nella fase di rimbalzo. Nell’esempio l’energia cinetica del corpo che urta la parete è conservata quasi completamente al termine della deformazione che, a differenza dei casi precedenti, non è permanente. L’urto è approssimabile al caso elastico.

Nell’ambito classico tutte le collisioni (elastiche o non elastiche) sono trattate introducendo una nuova grandezza vettoriale: la quantità di moto, prodotto tra la massa e la velocità del corpo, generalmente indicata nei manuali di meccanica con il simbolo q o Q (mentre nella fisica delle particelle si preferisce il simbolo p) che permette una diversa formulazione del secondo principio della dinamica del punto materiale. La quantità di moto in ambito quantistico e relativistico ha una diversa definizione applicabile anche a particelle come i fotoni di massa nulla. Essa appare come una delle misure standard della fisica degli acceleratori dove tutte le interazioni sono studiate tramite “collisioni” tra particelle. Inoltre, è facile mostrare, come anche la definizione classica, applicata a semplici problemi atomici, consente importanti conclusioni. Del resto anche nel campo della ricerca, se è vero che le leggi generali delle interazioni tra particelle sono quelle della meccanica quantistica, in molti casi è possibile ottenere informazioni sulla struttura della materia adottando il punto di vista classico e introducendo solo in un secondo momento il formalismo dei quanti. Le simulazioni numeriche di dinamica molecolare, riguardante un gran numero di particelle interagenti, non sono temi di questa lezione, ma saranno affrontate in seguito quando parleremo delle leggi dei gas e della teoria cinetica.

Per approfondire

Per gli approfondimenti sulla conservazione della quantità di moto e l’esperienza di Rutherford si rimanda all’appendice del libro di Steven Weinberg, La scoperta delle particelle subatomiche, Zanichelli, 1986. Per le dimostrazioni matematiche si rimanda al manuale di Antonio Caforio e Aldo ferilli, Fisica! Le regole del gioco, edizione riforma per il triennio dei licei scientifici, Le Monnier, 2012. Per l’esame dei crash test si possono vedere le pagine web in lingua inglese: How crash testing works oppure Forces in car crashes.

Prerequisiti

Le leggi della meccanica e i principi di conservazione.

Impostazione della lezione

La lezione può prendere avvio da una discussione successiva a un filmato sul crash test frontale di un’autoveicolo in cui compare la misura del tempo.

Analisi di un crash test

 I filmati delle prove d’impatto distruttive degli autoveicoli, dato l’elevato numero dei fotogrammi al secondo, riportano la scena dell’urto al rallentatore con l’indicazione del tempo in millesimi di secondo. In un crash test frontale pieno (figura 1) l’auto, lanciata alla velocità standard di 56 km/h (15,56 m/s), urta una barriera di alluminio larga un metro e profonda 54 centimetri. L’angolo tra la direzione del moto (chiamiamolo asse x) e il piano d’impatto della barriera è di 90°. Dal punto di vista del manichino, l’accelerazione iniziale è nulla (moto rettilineo uniforme), nell’istante dell’urto la sua testa subisce un’accelerazione (dovuta a una forza apparente) che ha tre componenti rispetto alla barriera (a_x trasversale, a_y longitudinale e a_z verticale).

_{Fig.1 Urto frontale contro una barriera in un crash test}

Il modulo dell’accelerazione (dovuto principalmente alla componente trasversale a_x) in pochi decimi di secondo raggiunge un massimo per poi decrescere fino a valori prossimi a zero, sia per l’azione delle cinture e dell’airbag (figura 2), sia per l’arresto dell’auto.

_{Fig.2 Apertura di un airbag}

Esaminiamo solo la fase di avanzamento della testa del conducente verso il volante con le misure ricavate  dal grafico della figura che segue, ottenuta grazie agli accelerometri disposti nell’autovettura, in unità multiple dell’accelerazione di gravità (g=9,8 m/s²).

_{Fig.3 Andamento dell'accelerazione in funzione del tempo durante un crash test}

Il picco dell’accelerazione ha un valore prossimo a 71 g. Gli estremi della prima curva (i valori nulli dell’accelerazione) corrispondono agli istanti 40 ms e 110 ms. La durata della prima fase dell’urto è quindi 70 ms. Mentre l’accelerazione media si può calcolare come rapporto tra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo. Dividendo 15,56 m/s per 0,070 s, si ottiene 240 m/s², circa 24 volte l’accelerazione di gravità g. Un valore incredibilmente alto, ottenuto con un’auto che colpisce frontalmente un ostacolo a una velocità di poco superiore al valore ammesso in città.

Per noi osservatori esterni l’incidente è causato dalla barriera che esercita una forza sull’auto provocando una decelerazione del centro di massa del sistema (veicolo conducente). L’intensità della forza si può calcolare a partire dalla massa del sistema (auto più manichino) utilizzando il secondo principio della dinamica: F = ma. Il valore medio della forza si otterrà dal valore medio dell’accelerazione. Se si pone a esempio per la massa totale un valore indicativo di 1300 kg, la forza media nell’esempio risulta circa 289 kN. Durante l’impatto avviene la trasformazione di parte dell’energia cinetica dell’auto in energia termica e di deformazione dell’auto stessa e della barriera (la parte elastica produce il rimbalzo dell’auto). Limitandoci all’intervallo di tempo tra 40 e 110 ms e approssimando il movimento lungo la sola direzione x, il lavoro L della forza F_media è uguale a -F_media ∙Δx_G (la forza è opposta allo spostamento Δx_G del centro di massa). Valutare lo spazio percorso dal centro di massa è assai difficile (tenuto conto delle molteplici deformazioni). Nei calcoli che seguono, lo porremmo, in modo arbitrario, esattamente uguale alla profondità dell’ostacolo 0,54 m. Inserendo i valori trovati in precedenza, il lavoro L=-289 kN ∙0,54 m=-156 kJ, mentre la variazione di energia cinetica è: K_f-K_i=0-mv²/2=-1300 kg (15,56 m/s)²/2=-157 kJ (si tenga presente che le barriere di contenimento delle strade italiane difficilmente sono capaci di respingere autoveicoli con energia cinetica di 400 kJ in un urto frontale). I valori trovati sono dunque  uguali.

Impulso e quantità di moto

Il secondo principio della dinamica può essere espresso in un’altra forma per descrivere lo studio delle collisioni tra due corpi. Ritornando al crash test, la forza ha un andamento nel tempo che ricalca quello dell’accelerazione, ma la misura della forza media non basta per descrivere in modo completo l’urto. Nella figura che segue, l’area delimitata dalla curva (del grafico tempo forza) è l’intensità di una nuova grandezza chiamata impulso I ed è equivalente all’area del rettangolo i cui lati misurano la durata dell’urto Δt e l’intensità della forza media: I=F_media∙Δt.

_{Fig.4 Andamento della forza in funzione del tempo}

A parità di impulso la definizione precedente indica la proporzione inversa tra forza (media) e durata dell’urto. Così la trasformazione, durante l’urto, dell’energia cinetica in altri tipi di energia può avvenire, come è immediatamente chiaro, in diverse modalità. Se il corpo e le barriere sono realizzati con materiali capaci di massimizzare l’interazione, con una durata elevata, la forza è minima; viceversa, se, cambiando per esempio la barriera, la durata è minore rispetto al caso precedente, allora l’intensità della forza cresce, poiché l’impulso dipende solo dalle condizioni di moto, iniziale e finale, dell’auto. L’equazione I=FΔt=mΔv rappresenta un modo diverso di esplicitare il secondo principio nei problemi di movimento e la grandezza mΔv è detta variazione della quantità di moto totale del sistema.

Consideriamo adesso due corpi (ugualmente rilevanti) lanciati l’uno contro l’altro (due palle di biliardo, due cariche elettriche, due particelle) che, avvicinandosi (toccandosi), interagiscano fortemente per un tempo molto breve. Le intensità, uguali, delle due forze d’interazione sono, in genere, molto più grandi delle intensità delle forze esterne (nel caso del crash test la forza media è pari a 24 volte il peso dell’auto). In questo modo il sistema costituito dalla coppia di oggetti in interazione è detto isolato e la quantità di moto totale del sistema non cambia durante la collisione (anche se la velocità dei singoli corpi può variare). Si simulano così gli urti elastici e anelastici (per i quali si conserva anche l’energia cinetica) fra sferette ideali (si veda la figura 5) in modo tale che il centro di massa del sistema rimanga invariato: a tali urti si possono anche ricondurre le interazioni di particelle subatomiche.

_{Fig.5 Simulazione numerica di urti elastici e anelastici}

Urti di protoni ad alta energia producono particelle che a loro volta decadono in altre particelle, tutte aventi la stessa origine nel centro di massa. Le posizioni (individuate dalla tracce), le masse e le quantità di moto divengono le misure standard iniziali anche della fisica degli acceleratori.

_{Fig.6 Simulazione degli urti fra protoni lanciati gli uni contro gli altri a velocità elevatissime, in un acceleratore di particelle}

La diffusione di Rutherford (dal punto di vista della meccanica classica)

Le esperienze sulle particelle elementari sono tutte basate sulle collisioni di coppie di particelle. L’idea base degli esperimenti è assai semplice, si cerca di realizzare un “crash test” che coinvolga solo un fascio di particelle e un bersaglio (target) oppure due fasci di particelle (2 auto una contro l’altra) di energia elevata. Gli studi del fisico neozelandese Ernest Rutherford, già premio Nobel per la Chimica nel 1908 per le sue ricerche in Canada sulla disintegrazione degli elementi e sulla chimica degli elementi radioattivi, nel laboratorio di Manchester tra il 1909 e il 1911, rappresentano un esempio di questa pratica. La diffusione di particelle alfa (prodotte da radio e collimate da una fenditura realizzata su uno schermo di piombo) incidenti su fogli metallici di spessore limitato è studiata da Rutherford e dai suoi collaboratori attraverso ore e ore di osservazione di brevi lampi provocati su una sostanza fluorescente (solfuro di zinco) disposta lungo una superficie concentrica al bersaglio (si veda lo schema dell'apparato sperimentale che segue).

_{Fig.7 Schema dell'esperienza di E. Rutherford}

Le misure portano Rutherford a proporre il primo modello di atomo con nucleo centrale positivo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dell’atomo stesso. Analizziamo un caso particolare proposto dagli assistenti di Rutherford, Hans Geiger (tedesco) e Ernest Marsden (neozelandese), nel 1911. Tra tutte le interazioni tra particelle alfa e nuclei del metallo (diciamo oro) i due ricercatori notano la possibilità di particelle alfa riflesse nella stessa direzione iniziale: il caso di un urto frontale elastico unidimensionale. Indichiamo con i simboli m_A e m_B le masse dei corpi che interagiscono, v_A(0) e v_B(0) le velocità iniziali delle particelle al tempo zero, v_A(t) e v_B(t) le velocità al tempo t dopo l’urto. Per il principio di conservazione della quantità di moto dev’essere: m_A∙v_A(0) + m_B∙v_B(0) = m_A∙v_A(t) + m_B∙v_B(t). Mentre per il principio di conservazione dell’energia: m_A∙v_A²(0) + m_B∙v_B²(0) = m_A∙v_A²(t) + m_B∙v_B²(t) (il termine ½ è stato semplificato). Una delle soluzioni banali del sistema e quella in cui la velocità di ogni singola particella sia uguale prima e dopo l’urto. Per trovare la seconda soluzione, non ovvia, ipotizziamo una velocità iniziale dell’atomo bersaglio uguale a zero. Le equazioni di conservazione si trasformano nella forma:

m_B∙v_B(0) = m_A∙v_A(t) + m_B∙v_B(t) ;

m_B∙v_B²(0) = m_A∙v_A²(t) + m_B∙v_B²(t) .

È facile ricavare allora:

 v_A(t)= v_B(0) [2m_B /(m_A+ m_B)]

v_B(t)= v_B(0) [(m_B- m_A)/(m_A+ m_B)]

Mentre il termine che lega la velocità finale dell’atomo, v_A(t), alla velocità iniziale della particella alfa, v_B(0), è per qualsiasi valore delle masse positivo, quello che esprime la velocità finale della particella proiettile, v_B(t), rispetto alla velocità iniziale della stessa particella, v_B(0), è negativo se m_B< m_A. In questo caso l’urto inverte il verso delle velocità della particella alfa. I principi di conservazione sono compatibili con una situazione di rimbalzo se e solo se il nucleo dell’atomo di oro ha una massa maggiore di quella delle particella alfa.

   

Bibliografia

Autore	Titolo	Edizione
Steven Weinberg	La scoperta delle particelle subatomiche	Zanichelli, 1986.
Antonio Caforio e Aldo Ferilli	Fisica! Le regole del gioco, edizione riforma per il triennio dei licei scientifici	Le Monnier, 2012.

La verifica

Il questionario può essere utilizzato come strumento di valuazione formativa o sommativa.

_{Fig.8 Pendoli di Newton}