Modelli matematici: matematica, fisica … e altro

di Nicola Bellomo*

 

Cosa si intende per Modello Matematico
Per modello matematico si intende un'equazione, generalmente di tipo differenziale, idonea a descrivere l'evoluzione nel tempo e nello spazio delle variabili che rappresentano, nella sintesi del modello, lo stato fisico di un sistema reale.

La descrizione è ottenuta tramite la soluzione di un problema matematico, ottenuto unendo l'equazione del modello a dati aggiuntivi noti come condizioni iniziali e al contorno. Di queste, le prime identificano lo stato del sistema in un opportuno tempo di riferimento (stato iniziale), le seconde il comportamento del sistema sul contorno del dominio che lo contiene. Le condizioni al contorno descrivono le interazioni con l'ambiente esterno.

La soluzione del problema è generalmente ottenuta con metodi numerici, infatti la complessità dei modelli e dei problemi matematici che ne seguono non consentono, nella grande generalità dei casi, di ottenere soluzioni analitiche. In alcuni casi l'equazione del modello è sostituita da un schema computazionale, che comunque richiede condizioni iniziali e al contorno.

Un esempio familiare a tutti può essere quello dei modelli matematici per la previsione del tempo.

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Applicazioni dei modelli matematici
Tradizionalmente i modelli matematici sono nati in rapporto alle scienze fisiche per descrivere, mediante equazioni, fenomeni fisici, esperimenti e teorie fisiche in generale. Dai modelli matematici sono nate le teorie fisico-matematiche valide in condizioni molto generali e lontane da quelle nelle quali sono stati realizzati gli esperimenti che hanno generato i modelli. Successivamente, in particolare nel secolo scorso, i modelli matematici e le teorie della fisica matematica si sono rivolte alle scienze tecnologiche, contribuendo al loro sviluppo. Più recentemente, e soprattutto in questo secolo, la matematica applicata si è rivolta alla modellizzazione dei sistemi delle scienze della vita: biologia, scienze economiche e sociali, scienze cognitive, etc..

La comunità scientifica è unanime nel sostenere che la rivoluzione scientifica di questo secolo sarà la formalizzazione matematica dei fenomeni della biologia, e che tale scienza arricchirà l'approccio tradizionale di tipo sperimentale con teorie biologico matematiche analoghe alle teorie fisiche che hanno caratterizzato il progresso scientifico nei secoli scorsi. Alcune riviste, ad esempio Physics of Life Reviews sono rivolte a questo tipo di indagine scientifica, mentre esempi in ambiti diversi delle scienze della vita sono documentati nella pagina WEB del Gruppo di Sistemi Complessi del Politecnico di Torino.

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Utilità dei modelli matematici e loro rapporto con le scienze matematiche
I modelli matematici di successo riproducono, sia pure con una certa approssimazione, esperimenti costosi. Inoltre, il modello matematico generalizza il comportamento del sistema reale in condizioni lontane, e quindi più generali, da quelle dell'esperimento. In alcuni casi il modello matematico è in grado di mettere in evidenza fenomeni non osservati da esperimenti. In questi casi, comunque di successo, l'approccio matematico ha suggerito nuovi esperimenti idonei a mettere a fuoco i comportamenti emergenti descritti dal modello.

In tal senso possiamo dire che la matematica non è soltanto una scienza fatta di astrazioni, ma opera in rapporto ai sistemi reali. Le scienze matematiche in generale, quindi anche nei loro contenuti astratti, hanno sempre ricevuto impulsi importanti da queste interazioni, che hanno motivato lo sviluppo di nuovi metodi matematici. La storia del pensiero matematico è ricca di esempi di grande rilievo. Ricordiamo il calcolo differenziale nato dalle teorie di Newton e il calcolo differenziale assoluto generato dalla teoria della relatività di Einstein. Attualmente, le scienze matematiche sono attratte dai sistemi viventi complessi costituiti da molti soggetti interagenti. Questi hanno la capacità di sviluppare strategie individuali e collettive che si adattano all'ambiente che li circonda. Comprendere la profonda differenza che distingue la dinamica dei sistemi viventi da quella della materia inerte è una delle sfide più affascinanti che coinvolgono matematici e studiosi di tutte le discipline.

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Il ruolo della SIMAI - Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale
Il ruolo della SIMAI nella Matematica e nella Società è quello di promuovere la ricerca matematica nelle scienze applicate e industriali. Le applicazioni oggi vanno intese ad ampio raggio, quindi non solo scienze tecnologiche, ma anche biologiche, economiche e sociali. Tutto ciò nella convinzione che vada superata ogni disputa, priva di prospettive, fra ricerca di base e ricerca applicata. La ricerca applicata di qualità, quella che si pone degli obiettivi scientifici importanti, dovrà sempre interagire con la riflessione più teorica. Ed è un percorso aperto nelle due direzioni: l'astrazione permette di connettere problemi molto diversi, travasando esperienze da un settore all'altro; d'altro canto le applicazioni di alto profilo sono difficili e spesso capaci di aprire nuove prospettive e direzioni del pensiero.

Bene precisare che SIMAI non svolge attività di ricerca, ma intende promuoverla anche a beneficio del sistema produttivo del paese. Questo impegno nasce dalla duplice convinzione che il paese nel suo complesso necessiti di un rilancio della ricerca sia di base che applicata finalizzato anche a migliorare il livello di competizione internazionale. Il successo in questa competizione conduce, in molti casi, a migliorare la qualità della vita.

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*Professore ordinario di Fisica Matematica e Matematica Applicata della Facoltà di Ingegneria del Politecnico di Torino, Presidente SIMAI e Co-Direttore con Franco Brezzi della rivista "Mathematical Models and Methods in Applied Sciences".



Pubblicato il 16/3/2010

 

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