Le potenze con esponente intero

Le potenze sono un argomento irto di difficoltà per gli studenti: proprio per agevolare in loro, il superamento di questi ostacoli cognitivi, vengono proposte due attività che possono essere svolte in un’unica lezione di due ore consecutive o in due giorni, possibilmente vicini nel tempo.

RIFERIMENTI DIDATTICI

Il video ricorda impietosamente che le potenze sono un argomento irto di difficoltà per gli studenti: a partire dalla notazione con quel numero piccolo in alto che richiede una certa abilità calligrafica, oggi in via di estinzione, alla definizione come ‘scrittura abbreviata di una moltiplicazione ripetuta’, che non si può estendere all’esponente 0 o ancora meno a esponenti interi negativi.

Si prenda per es. il numero 3: che senso ha infatti ‘moltiplicare per se stesso' questo numero per 0 volte o per -1 volte ? Del resto non è solo il video a ricordare queste difficoltà, ma anche gli esiti di un quesito in una recente prova di matematica agli Esami di Stato.

Impostazione della lezione

Proprio per superare queste difficoltà presentiamo qui due attività che possono essere svolte in un’unica lezione di due ore consecutive o in due giorni, possibilmente vicini nel tempo. Quando proporre le attività? Al ‘momento del bisogno’, per esempio quando da un test o da una discussione in classe emergano carenze o difficoltà sull’argomento.

Si troverà allegato, per ognuna delle due attività proposte, del materiale per organizzare la lezione: - una Presentazione in Power Point e una Scheda di lavoro in pdf. Perciò è consigliabile organizzare la lezione in un’aula dotata di LIM o di proiettore collegato al computer. Ma la presentazione in Power Point può essere sostituita con la tradizionale ‘lavagna e gesso’; è importante però conservare l’attività degli studenti suddivisi in gruppi: le attività di osservazione e discussione, ben organizzate, rendono infatti più stabile l’apprendimento.

ATTIVITÀ 1. potenze ad esponente 0 o intero negativo.

Materiale allegato: Presentazione1 in Power Point.

-L’insegnante richiama la nozione di potenza con l’esponente che è un numero naturale e quindi illustra un procedimento intuitivo per dare un risultato ad a⁰. Quindi affronta, con lo stesso procedimento, i problemi posti da 0⁰.

-Viene poi distribuita una Scheda di lavoro che guida gli studenti a scoprire (o ritrovare) le potenze ad esponente intero negativo. Opportuni quesiti portano gli studenti a riflettere sul caso 0^-n ( con n numero naturale).

-L’insegnante riprende la Presentazione1 in Power point per sintetizzare i risultati raggiunti.

ATTIVITÀ 2. proprietà delle potenze.

Materiale allegato: Presentazione2 in Power Point

-L’insegnante richiama la priorità delle operazioni per consolidare una corretta lettura delle espressioni con potenze, moltiplicazioni (o divisioni) e addizioni (o sottrazioni).

- Viene quindi distribuita una Scheda di lavoro; che guida gli studenti a scoprire (o ritrovare) le proprietà delle potenze; riflettendo anche su tali proprietà. Opportuni quesiti portano gli studenti a riflettere sulle dimostrazioni delle proprietà e, quindi, a capire perché non ce ne sono alcune, a esempio, relative alla somma di potenze di uguale base o uguale esponente.

-L’insegnante riprende quindi la Presentazione2 in Power Point per sintetizzare i risultati raggiunti.

Spunti di riflessione per evitare errori infestanti

E’ importante affrontare l’argomento ‘potenze e le loro proprietà’ nelle varie fasi del curriculum scolastico: passando dai numeri naturali N agli interi Z, per giungere ai razionali Q e reali R. Sono anche però necessari frequenti periodi di richiamo e sintesi collettiva dell’argomento, da svolgere tra i vari moduli didattici e anche come lezione propedeutica all’argomento “esponenziali e logaritmi”.

Sarebbe di grande aiuto, per gli studenti, avere formulari a disposizione sia nella fase di apprendimento, che nel primo periodo di svolgimento degli esercizi. Nello stesso tempo è necessario che la lezione non sia solo una meccanica applicazione di regole e che lo studente stesso costruisca il proprio apprendimento.

Per evitare ‘errori infestanti’ sulle potenze, non è necessario somministrare un grande numero di esercizi, in quanto essi, talvolta, portano facilmente a penosi automatismi. Sono più efficaci pochi esercizi, ma vari e mirati a favorire l’osservazione e la riflessione, per tenere sempre desta l’attenzione su quello che si sta scrivendo.

Gli insegnanti sapranno alternare agli esercizi applicativi, una serie di esercizi più legati al ragionamento intuitivo e alla scoperta. In sintesi, ecco alcuni suggerimenti:

- che non ci siano solo regole;

- che, allo stesso tempo, ci sia un formulario che possa aiutare gli studenti;

- che si eviti la ripetizione di tanti esercizi che conducono solo ad automatismi;

- che si presenti qualche esercizio intuitivo finalizzato alla ‘scoperta’;

- che gli argomenti di base, anche se trattati in periodi differenti, vengano periodicamente richiamati al momento opportuno.

Voci correlate

Risorse Treccani

Risorse Web

Bibliografia

Autore	Titolo	Edizione
Moretti Nanni	Ecce Bombo	http://it.wikipedia.org/wiki/Ecce_bombo
Iannucci Alessandro	Prova di matematica: motivare la risposta	Treccani scuola 2010
Valenti Daniela	Zero nella divisione: prevenire errori ‘infestanti	Treccani scuola 2012
Valenti Daniela	Zero nelle 4 operazioni; proprietà e ragionamenti	Treccani scuola 2012
Domingo Paola	Proprietà delle operazioni	Treccani scuola 2010
Valenti Daniela, Gori Giorgi Claudio	Immagini della matematica	Zanichelli 2005
Lamberti Lamberto, Mereu Laura, Nanni Augusta	Lezioni di matematica	Etas 2010

LA VERIFICA

Ricerche proposte:

Si possono consolidare le attività proponendo agli studenti delle ricerche, ad esempio:

- come viene trattata l’elevazione a potenza, e in particolare i casi 0⁰e 0^-n^, dai computer (calcolatrice tascabile, calcolatrici annesse ai principali sistemi operativi, software Excel, …);

- la notazione esponenziale e il suo uso nelle scienze e nell'informatica per indicare numeri molto grandi o molto vicini a zero (nella cosiddetta 'notazione scientifica');

- ogni studente propone ad amici e parenti i seguenti calcoli: 0⁰ 0^-1 5⁰ 5^-1 ; poi si raccolgono tutti i risultati e si organizza una piccola indagine statistica. E' assicurato che, specialmente in occasione dell’ultima attività proposta, i risultati saranno ‘didatticamente interessanti’.

Questionario

In esso si propongono con gradualità quesiti che richiedono immediate applicazioni della lezione, ma anche quesiti che richiedono una personale rielaborazione dei concetti appresi. Il questionario si può proporre alla classe, sia divisa in piccoli gruppi con finalità diagnostiche e formative oppure, alla fine di un ciclo di lezioni, con finalità sommative.