Limite di funzione

La lezione guida gli studenti a scoprire con un percorso snello e graduale concetti e simboli essenziali sui limiti di una funzione. Numerose figure e due animazioni agevolano l’uso coordinato di vari registri di rappresentazione (numerico, algebrico, grafico, funzionale).

RIFERIMENTI DIDATTICI

Limiti e  derivate, secondo le recenti Indicazioni nazionali, vengono trattati all’ultimo anno e si trova una sostanziale identificazione nella trattazione dell’argomento in tutti i licei, pur con qualche diversità nella distribuzione dei contenuti: lo studio della rapidità di variazione inizia al II biennio dei soli Licei scientifici, per i quali è previsto, all’ultimo anno, anche lo studio di semplici equazioni differenziali.

Per i licei non scientifici lo studio dell’analisi collegato con le scienze, e in particolare con la fisica, è una novità, con l’eccezione di alcune sperimentazioni, e certamente preoccupa docenti e studenti che pensano al ridotto numero di ore settimanali di matematica presente nell’orario scolastico. Sarà dunque necessario selezionare attentamente i punti essenziali dell’argomento, sia nella teoria che (soprattutto) negli esercizi e ridimensionare notevolmente il tempo dedicato allo sviluppo di abilità nella manipolazione algebrica, come esplicitamente raccomandato anche nelle Indicazioni nazionali, per dedicarsi a costruire negli studenti competenze nella modellizzazione e nell’ottimizzazione.

Per affrontare questi problemi didattici può essere utile un primo gruppo di undici lezioni, pronte per l’uso in aula, che sono l’inizio di un percorso per un apprendimento preuniversitario del tema, completato anche da un buon numero di esercizi. Parte integrante delle lezioni sono brevi video e simulazioni che sintetizzano o richiamano in modo visuale e dinamico concetti e proprietà essenziali.

Le undici lezioni sono:

Limite di una funzione. La lezione guida gli studenti a scoprire con un percorso snello e graduale concetti e simboli essenziali sui limiti di una funzione. Numerose figure e animazioni agevolano l’uso coordinato di vari registri di rappresentazione (numerico, algebrico, grafico, funzionale).

Funzione continue e discontinue. La lezione guida gli studenti a riconoscere le funzioni continue per scoprirne le proprietà più importanti e a individuare le caratteristiche dei vari punti di discontinuità. Non mancano figure, animazioni e riflessioni sul contesto storico per stimolare l’interesse e la partecipazione degli studenti.

Algebra dei limiti. La lezione guida gli studenti a scoprire i procedimenti per calcolare limiti di funzioni ottenute da quelle elementari e dalle loro inverse mediante addizione, moltiplicazione, divisione e composizione di funzioni. Per prevenire il formarsi di regole mnemoniche vuote di significato è dedicata particolare attenzione ai procedimenti, sostenuti da figure e animazioni, e alla scelta delle applicazioni.

Forme indeterminate. La lezione guida gli studenti a riconoscere le forme indeterminate, comprenderne il significato e calcolarne l’esito in casi notevoli, che verranno richiamati successivamente per studiare asintoti e derivate. Figure e animazioni sostengono la comprensione dei punti didatticamente più impegnativi.

 Problematiche che conducono alle derivate. La lezione guida gli studenti a riflettere su classici problemi relativi alla rapidità istantanea di variazione per arrivare alla nozione di derivata in un punto e funzione derivata. Particolare attenzione è dedicata ad un uso didatticamente efficace di un software di geometria dinamica e al contesto storico in cui si è sviluppato il tema.

 Derivate di funzioni elementari. La lezione guida gli studenti a costruire le derivate delle classiche funzioni elementari: y=k, y=sin(x), y=cos(x), y=ex, y=xn. Particolare attenzione è dedicata ad un uso didatticamente efficace di un software di geometria dinamica e ad una frequente riflessione sul significato geometrico della derivata.

 Algebra delle derivate. La lezione guida gli studenti a scoprire i procedimenti per derivare funzioni ottenute da quelle elementari mediante addizione, moltiplicazione, divisione e composizione di funzioni. Per prevenire il formarsi di regole mnemoniche vuote di significato è dedicata particolare attenzione ai procedimenti e alla scelta delle applicazioni, sostenute da simulazioni per richiamare il significato geometrico della derivata.

Rette tangenti e differenziale. La lezione guida gli studenti a lavorare su due temi importanti: l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile e il differenziale, con le sue varie applicazioni anche nell’approssimazione lineare. Particolare attenzione è dedicata alla visualizzazione grafico - dinamica dei concetti, basata anche su un uso didatticamente efficace di un software di geometria dinamica, e al contesto storico in cui si è sviluppato il tema.

Teoremi sulle funzioni derivabili. La lezione guida gli studenti a scoprire e applicare classici teoremi sulle funzioni derivabili: la continuità di una funzione derivabile, i teoremi di Lagrange e Rolle, il teorema di de l’Hopital. Particolare attenzione è dedicata ad un uso didatticamente efficace di un software di geometria dinamica e al contesto storico in cui si è sviluppato il tema.

Problemi di ottimizzazione.La lezione guida gli studenti a risolvere con i metodi del calcolo differenziale problemi di massimo o minimo, sia contestualizzati in situazioni problematiche realistiche, sia inerenti alla matematica. Particolare attenzione è dedicata all’organizzazione del percorso, snello, graduale e sostenuto da animazioni che agevolano la comprensione e l’acquisizione dei concetti più impegnativi.

Studio del grafico di una funzione. La lezione guida gli studenti a scoprire e praticare un percorso snello e graduale per tracciare il grafico di una funzione applicando le fondamentali nozioni sulle derivate, già acquisite per risolvere problemi di ottimizzazione. Numerose figure e animazioni agevolano l’uso coordinato di vari registri di rappresentazione (algebrico, grafico, funzionale)

Impostazione della lezione

In questa lezione si trovano attività, che formano due ‘atomi di lezione’:

 - limiti di funzioni, parte I, che guida gli studenti a scoprire i limiti di funzioni per x che tende ad infinito, sostenuti da applicazioni al mondo reale, numerose figure e richiami al contesto storico in cui si è sviluppato il tema;

- limiti di funzioni, parte II, che guida gli stucenti a scoprire i limiti di funzioni per x che tende ad un numero, visualizzati non solo da varie figure, ma anche da due brevi video, importanti per coordinare i vari concetti coinvolti.

Questi due ‘atomi’ possono essere proposti al momento più opportuno per ogni classe, aggregandoli nel modo che l’insegnante ritiene più efficace, mantenendo le necessarie propedeuticità. Ma, a mio avviso, è preferibile proporre le attività, nell’ordine in cui sono presentate, in un’unica lezione di due ore, o meglio, in due lezioni di un’ora vicine nel tempo, utilizzando tutto il materiale qui fornito e cioè: due presentazioni per sostenere la parte di lezione frontale dell’insegnante, due schede di lavoro progettate per guidare il lavoro di gruppo degli studenti e due video destinati ad agevolare gli studenti nella comprensione e acquisizione dei concetti più impegnativi. È consigliabile organizzare la lezione in un’aula dotata di di proiettore collegato al computer (o di LIM). I materiali sono disponibili, anche in formato doc, a questo link.

Prerequisiti

Il tema, complicato e didatticamente impegnativo, richiede che lo studente abbia numerose conoscenze e abilità acquisite lungo il percorso liceale; in particolare il concetto di funzione e il grafico di funzioni elementari, ad esempio trattati nelle lezioni Incontriamo le funzioni, Funzioni inverse e radici, Funzione esponenziale, Dall’esponenziale al logaritmo, Simmetrie e funzioni inverse, Incontriamo le funzioni circolari, Algebra delle funzioni, Funzioni composte, Funzioni definite per casi.

La numerosità dei prerequisiti rende difficile prevedere il tempo necessario per sviluppare questa lezione in modo didatticamente efficace per gli studenti di tutte le classi liceali: ogni insegnante potrà trovare il modo e i tempi per distribuire il materiale qui presentato in due o più ore, a seconda delle esigenze della sua classe.

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