Dall'esponenziale al logaritmo
La lezione guida gli studenti alla scoperta della funzione logaritmica e alla definizione di logaritmo.
RIFERIMENTI DIDATTICI
L’argomento ‘funzione esponenziale e logaritmo’ è stato spesso trascurato finora nei licei. Ma oggi le recenti indicazioni nazionali portano a una sostanziale identificazione nella trattazione dell’argomento durante il secondo biennio di tutti i licei. In particolare, l’attenzione è centrata su:
- le funzioni esponenziale e logaritmo, con il loro importante ruolo nei modelli di crescita;
- le basi del calcolo approssimato, da sviluppare con l’uso degli strumenti di calcolo.
Importante è tuttavia sottolineare una chiara precisazione: ‘Non sarà richiesta l'acquisizione di particolare abilità nella risoluzione di equazioni e disequazioni in cui compaiono queste funzioni, abilità che sarà limitata a casi semplici e significativi.’ Sembra dunque richiesto un notevole cambiamento nella pratica didattica tradizionale.
Ma, ben prima di queste indicazioni, vari progetti di ricerca-azione hanno coinvolto numerosi insegnanti per studiare e sperimentare percorsi centrati sugli stessi principi, ottenendo sempre interesse e partecipazione molto vivi da parte degli studenti e buoni risultati sia in sede di Esami di Stato, sia nei successivi studi universitari. Proprio il materiale prodotto e largamente sperimentato in uno di questi progetti viene qui presentato ai docenti che hanno seguito finora il percorso tradizionale e desiderano cambiare, non tanto perché obbligati ‘dall’alto’, ma perché desiderano insegnare meglio e però sono preoccupati di dover gestire in poco tempo un cambiamento così importante. Per questi può essere utile un gruppo di sei lezioni, pronte per l’uso in aula, che costruiscono l’intero percorso per un apprendimento attivo del tema, completato anche da un buon numero di esercizi.
Struttura delle lezioni
Le sei lezioni, di cui questa è la seconda, sono:
1. Legge esponenziale. La lezione guida gli studenti alla scoperta della legge esponenziale, a partire da due importanti fenomeni scientifici che possono essere anche illustrati con brevi video presi sulla rete: la crescita dei batteri e il decadimento radioattivo. Il passaggio alla funzione matematica y = ax, conduce anche a: I. rivedere le potenze con esponente reale (intero, razionale e irrazionale); II. rivedere la scrittura delle potenze mediante radicali e frazioni, confrontata con gli esiti dei più diffusi strumenti informatici.
2. Dall’esponenziale al logaritmo. La lezione guida gli studenti alla scoperta della funzione logaritmica e alla definizione di logaritmo, a partire da un rilevante fenomeno scientifico: la datazione col radiocarbonio che può essere illustrata con un breve video. Particolare attenzione viene poi dedicata al calcolo dei logaritmi con i più comuni strumenti informatici.
3. Alla scoperta delle proprietà dei logaritmi. Questa lezione, più strettamente matematica, parte da una riflessione sulle proprietà delle potenze in modo da guidare gli studenti a trovare le proprietà dei logaritmi: il logaritmo del prodotto, della potenza e, quindi, del quoziente, per concludere con il cambiamento di base. Non manca un nutrito elenco di problemi collegati alla realtà,che portano agevolmente a risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche in casi semplici e significativi.
4. Perché è importante il numero e. La lezione parte da problemi di capitalizzazione in regime di interesse composto per arrivare gradualmente al numero e, mostrandone l’importanza nei processi di crescita continua.
5. Perché studiare le funzioni esponenziale e logaritmo in base e ? La lezione guida gli studenti in modo graduale a studiare l'andamento delle due funzioni che incontrano poi nella risoluzione di problemi scientifici significativi.
6. Esponenziale e logaritmo nelle prove d’esame. Nella gli studenti risolvono problemi e quesiti dati agli Esami di Stato e alle prove di ingresso all’Università. Non mancano occasioni per presentare e commentare più procedimenti per risolvere lo stesso quesito.
Impostazione della lezione
Questa seconda lezione presenta due attività per introdurre in modo agevole e significativo gli studenti alla funzione logaritmica, a partire da una sua importante applicazione nella realtà. Dopo questa lezione, largamente sperimentata, nessuno studente chiede: ‘A che cosa servono i logaritmi?’ È preferibile proporre le due attività, nell’ordine in cui sono presentate, in un’unica lezione di due ore (o in due lezioni vicine nel tempo), utilizzando tutto il materiale qui fornito e cioè: I. Due presentazioni, in pdf, destinate a sostenere la parte di lezione frontale dell’insegnante; II. Due schede di lavoro, in pdf, progettate per guidare il lavoro di gruppo degli studenti; III. Un file di geometria dinamica, realizzato con il software gratuito Geogebra4, per visualizzare l’andamento di funzioni logaritmiche con varie basi. È consigliabile perciò organizzare la lezione in un’aula dotata di LIM (o di proiettore collegato al computer) e di un computer per ogni gruppo di 2 – 4 studenti.
Questa seconda lezione esplora la funzione logaritmica attraverso attività multisensoriali. Arrivano così alla pratica didattica gli esiti di ricerche pedagogiche classiche e recenti (da quelle di Emma Castelnuovo a quelle di Hans Freudenthal, George Lackoffe e Rafael Nuñez, citate in bibliografia) sintetizzabili in un principio oggi largamente condiviso: le attività che coinvolgono tutto il corpo sollecitano, a tutte le età, un apprendimento significativo e stabile. Il contenuto principale della lezione è ‘la funzione logaritmica’, ma nelle attività si trovano anche: I. Esperienze di matematizzazione di problemi reali che richiedono la compilazione di tabelle e la ricerca di leggi matematiche; II. Il disegno e lo studio di grafici cartesiani; III. Gli elementi base del calcolo approssimato. I calcoli richiesti nelle tabelle possono essere eseguiti a mente o, quando è necessario, con una calcolatrice tascabile, mentre i grafici possono essere realizzati a mano o con un software, come ad esempio Excel o Geogebra 4.
Prerequisiti
La lezione richiede di: avere familiarità con il concetto oggi più diffuso di funzione, presentato nella lezione ‘Incontriamo le funzioni’; conoscere e saper utilizzare le potenze ad esponente intero, presentate nella lezione ‘Le potenze con esponente intero’; conoscere e saper utilizzare le potenze ad esponente razionale, presentate nella lezione ‘Funzioni inverse e radici’; conoscere la funzione esponenziale, il suo grafico e le sue proprietà, presentate nella lezione ‘Funzione esponenziale’.
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