Proprietà dei logaritmi

Una lezione che conduce gli studenti a scoprire autonomamente le proprietà dei logaritmi e ad applicarle in contesti per loro significativi.

RIFERIMENTI DIDATTICI

L’argomento ‘funzione esponenziale e logaritmo’ è stato spesso trascurato finora nei licei. Ma oggi le recenti indicazioni nazionali portano a una sostanziale identificazione nella trattazione dell’argomento durante il secondo biennio di tutti i licei. In particolare, l’attenzione è centrata su:

- le funzioni esponenziale e logaritmo, con il loro importante ruolo nei modelli di crescita;

- le basi del calcolo approssimato, da sviluppare con l’uso degli strumenti di calcolo.

Importante è tuttavia sottolineare una chiara precisazione: ‘Non sarà richiesta l'acquisizione di particolare abilità nella risoluzione di equazioni e disequazioni in cui compaiono queste funzioni, abilità che sarà limitata a casi semplici e significativi.’ Sembra dunque richiesto un notevole cambiamento nella pratica didattica tradizionale.

Ma, ben prima di queste indicazioni, vari progetti di ricerca-azione hanno coinvolto numerosi insegnanti per studiare e sperimentare percorsi centrati sugli stessi principi, ottenendo sempre interesse e partecipazione molto vivi da parte degli studenti e buoni risultati sia in sede di Esami di Stato, sia nei successivi studi universitari. Proprio il materiale prodotto e largamente sperimentato in uno di questi progetti viene qui presentato ai docenti che hanno seguito finora il percorso tradizionale e desiderano cambiare, non tanto perché obbligati ‘dall’alto’, ma perché desiderano insegnare meglio e però sono preoccupati di dover gestire in poco tempo un cambiamento così importante. Per questi può essere utile un gruppo di sei lezioni, pronte per l’uso in aula, che costruiscono l’intero percorso per un apprendimento attivo del tema, completato anche da un buon numero di esercizi.

_{John Napier (italianizz. Nepero): il suo nome è legato all'invenzione dei logaritmi}

Struttura delle lezioni

Le sei lezioni, di cui questa è la terza, sono:

1. Legge esponenziale. La lezione guida gli studenti alla scoperta della legge esponenziale, a partire da due importanti fenomeni scientifici che possono essere anche illustrati con brevi video presi sulla rete: la crescita dei batteri e il decadimento radioattivo. Il passaggio alla funzione matematica y = a^x, conduce anche a: I. rivedere le potenze con esponente reale (intero, razionale e irrazionale); II. rivedere la scrittura delle potenze mediante radicali e frazioni, confrontata con gli esiti dei più diffusi strumenti informatici.

2. Dall’esponenziale al logaritmo. La lezione guida gli studenti alla scoperta della funzione logaritmica e alla definizione di logaritmo, a partire da un rilevante fenomeno scientifico: la datazione col radiocarbonio che può essere illustrata con un breve video. Particolare attenzione viene poi dedicata al calcolo dei logaritmi con i più comuni strumenti informatici.

3. Alla scoperta delle proprietà dei logaritmi. Questa lezione, più strettamente matematica, parte da una riflessione sulle proprietà delle potenze in modo da guidare gli studenti a trovare le proprietà dei logaritmi: il logaritmo del prodotto, della potenza e, quindi, del quoziente, per concludere con il cambiamento di base. Non manca un nutrito elenco di problemi collegati alla realtà,che portano agevolmente a risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche in casi semplici e significativi.

4. Perché è importante il numero e. La lezione parte da problemi di capitalizzazione in regime di interesse composto per arrivare gradualmente al numero e, mostrandone l’importanza nei processi di crescita continua.

5. Perché studiare le funzioni esponenziale e logaritmo in base e ? La lezione guida gli studenti in modo graduale a studiare l'andamento delle due funzioni che incontrano poi nella risoluzione di problemi scientifici significativi.

6. Esponenziale e logaritmo nelle prove d’esame. Nella gli studenti risolvono problemi e quesiti dati agli Esami di Stato e alle prove di ingresso all’Università. Non mancano occasioni per presentare e commentare più procedimenti per risolvere lo stesso quesito.

Impostazione della lezione

Questa terza lezione guida gli studenti a scoprire autonomamente le proprietà dei logaritmi e ad applicarle in contesti per loro significativi. Il contenuto principale della lezione è ‘le proprietà dei logaritmi', ma nelle attività si trovano anche: I. L’uso consapevole del calcolatore tascabile; II. Gli elementi base del calcolo approssimato; III. I procedimenti per risolvere problemi attuali descritti dalla funzione logaritmica.

È preferibile proporre le due attività, nell’ordine in cui sono presentate, in un’unica lezione di due ore (o in due lezioni vicine nel tempo), utilizzando tutto il materiale qui fornito e cioè: I. Due presentazioni, in pdf, destinate a sostenere la parte di lezione frontale dell’insegnante; II. Due schede di lavoro, in pdf, progettate per guidare il lavoro di gruppo degli studenti; III. Un file di problemi per continuare a mantenere vivo l’argomento fra le competenze degli studenti. È consigliabile organizzare la lezione in un’aula dotata di LIM (o di proiettore collegato al computer).

Prerequisiti

La lezione richiede di: I. Conoscere e saper utilizzare le potenze ad esponente intero, presentate nella lezione ‘Potenze con esponente intero’ ; II. Conoscere e saper utilizzare le potenze ad esponente razionale, presentate nella lezione ‘Funzioni inverse e radici’ ; III. Conoscere la funzione esponenziale, il suo grafico e le sue proprietà, presentate nella lezione ‘Funzioni esponenziale’; IV. Conoscere la funzione logaritmo, il suo grafico e le sue proprietà, presentate nella lezione ‘Dall’esponenziale al logaritmo’ .

ATTIVITÀ 1. Proprietà dei logaritmi

L’attività è organizzata in tre fasi, che alternano presentazioni frontali dell’insegnante e lavoro di gruppo degli studenti.

A. Lezione frontale dell’insegnante. L’insegnante segue la prima presentazione (slides 1 – 5) per: I. Presentare alcuni problemi che motivano lo studio di proprietà dei logaritmi; II. Riflettere sulla scrittura di espressioni dove si trovano i logaritmi insieme alle 4 operazioni e alle potenze.

B. Lavoro di gruppo degli studenti. L’insegnante distribuisce la prima scheda di lavoro allegata che propone a ciascun gruppo di studenti un lavoro diviso in due parti: I. Scoprire le proprietà del logaritmo di una potenza, di un prodotto e di un quoziente. II. Eseguire calcoli con logaritmi per consolidare le proprietà scoperte e praticarne le applicazioni.

C. Lezione frontale dell’insegnante. L’insegnante riprende la proiezione della prima presentazione (slides 6 – 12) per sintetizzare e ampliare i punti più significativi e in particolare: I. Tre proprietà dei logaritmi (di una potenza, di un prodotto e di un quoziente); II.L’importanza di queste proprietà sia nel facilitare i calcoli in epoche pre-computer, sia nel descrivere e risolvere problemi scientifici attuali.

ATTIVITÀ 2. Proprietà dei logaritmi e problemi

L’attività ripropone l’alternanza di presentazioni frontali dell’insegnante e lavoro di gruppo degli studenti.

A. Lezione frontale dell’insegnante. L’insegnante segue la seconda presentazione (slides 1 e 2) per introdurre gli studenti al lavoro di gruppo.

B. Lavoro di gruppo degli studenti. Guidati dalla seconda scheda di lavoro, i gruppi di studenti svolgono un nuovo lavoro diviso in due parti: I. Scoprire la proprietà relativa al cambiamento di base dei logaritmi e completare uno schema che riassuma tutte le proprietà scoperte durante la lezione . II. Eseguire calcoli che richiedono anche il cambiamento di base e risolvere quesiti attuali legati alla legge che misura in decibel l’intensità di una sensazione sonora.

C. Lezione frontale dell’insegnante. L’insegnante riprende la proiezione della seconda presentazione (slides 3 - 15) per sintetizzare e ampliare i punti importanti trattati nel lavoro di gruppo; in particolare vengono proposte: I. Particolari attenzioni che richiedono le espressioni con logaritmi, sia quando il calcolo è eseguito con carta e penna applicando le proprietà, sia quando il calcolo è eseguito con la calcolatrice tascabile; II. Riflessioni sulla risoluzione dei quesiti proposti nella scheda e, in particolare, sulla traduzione dal linguaggio naturale al linguaggio matematico e sull’organizzazione del procedimento.

ALTRE ATTIVITA'

Si suggerisce di proporre agli studenti, a intervalli di tempo regolari, altri problemi, come ad esempio quelli proposti nel file allegato, per mantenere vivo nella pratica didattica l’uso di funzioni esponenziali e logaritmiche.

Nelle classi si trovano spesso studenti interessati al problema di insonorizzare la sala prove di un gruppo musicale; a questi studenti si può proporre una ricerca sull’isolamento acustico, a partire, per esempio, dai seguenti siti web: Isolamento acustico e Introduzione al fonoisolamento. Si possono proporre ricerche di tipo storico sull’uso delle tavole dei logaritmi o del regolo calcolatore, con l’aiuto, ad esempio, di Logaritmi: perché no? (dal sito Polymath) o del sito Giocomania; potrebbe anche essere interessante coinvolgere nella ricerca persone anziane che abbiano praticato questi strumenti per presentare un quadro di scuola e società pre-computer. Proporre ricerche in inglese può essere particolarmente interessante per i licei linguistici o per una lezione CLIL; un testo adatto, disponibile in rete, è A history of mathematical notation, per una ricerca di storia della matematica, ma anche la biografia di Nepero o di Briggs (tutto in inglese).

Voci correlate

Risorse Treccani

Risorse Web

Bibliografia

Autore	Titolo	Edizione
Castelnuovo Emma	Didattica della matematica	La Nuova Italia Editrice 1963
Freudenthal Hans	Revisiting mathematics education	Kluwer Academic Publishers 1991
Castelnuovo Emma, Gori Giorgi Claudio, Valenti Daniela	La matematica nella realtà	La Nuova Italia 1986

LA VERIFICA

Il questionario propone con gradualità soprattutto quesiti che richiedono immediate applicazioni della lezione, ma anche quesiti che richiedono personale rielaborazione. Questa verifica si può proporre alla classe divisa in piccoli gruppi, per fini diagnostici e formativi, oppure ai singoli studenti per una valutazione individuale.

_{Frontespizio dell'opera "Mirifici logarithmorum canonis descriptio" del 1619, nella quale Nepero annuncia l'invenzione dei logaritmi.}