di Alessandro Iannucci*

Ero commissario esterno per matematica e fisica al Liceo Scientifico, Esame di Stato del 2009.

Tra i colleghi ha generato numerose discussioni la correzione del quesito 5 riportato qui sotto:

Discussioni durante la correzione delle risposte corrette
A mio avviso (e non solo mio) il quesito testa conoscenze fondamentali e una buona parte degli studenti discretamente preparati dovrebbe conoscere la risposta esatta, ma lascia un punto da chiarire: quale motivazione si può considerare esaustiva?
Non bisogna dimenticare infatti che gli studenti giungono all'Esame di Stato dopo un lungo anno dedicato a studiare  i fondamenti dell'analisi matematica, perciò  dovrebbero aver  esaminato funzioni che non sono definite per x = 0, ma presentano nell'intorno di 0 comportamenti ben differenti (come mostra la figura qui sotto). Nella motivazione del quesito doveva comparire anche questo? 

 
Parecchie discussioni sono nate dunque dalle risposte esatte, alcune delle quali erano molto simili a quelle che si possono trovare ricercando in rete (1 ; 2 ; 3 ); argomento principale di discussione è stato: quando attribuire al quesito il punteggio massimo e, in particolare, quando considerare corrette e complete le motivazioni  della risposta.
Ad esempio, negli elaborati ho trovato parecchie risposte del tipo seguente:

 
Risposta sintetica, ma esatta! Personalmente ritengo più chiara una risposta data in forma di tabella, come ad esempio quella riportata qui sotto, che consente motivazioni più dettagliate; però mi è sembrata pienamente soddisfacente anche la risposta data in forma discorsiva.

 
Ma allora come valutare un altro studente che avesse fornito nella motivazione anche la distinzione tra espressione indeterminata e impossibile o anche una riflessione sui grafici?
Una risposta sensata è venuta dalla discussione fra colleghi: attribuire al quesito 5 il punteggio massimo con tutte le motivazioni corrette, riservandosi di tener conto di particolari approfondimenti nel voto complessivo della prova di matematica o nell'attribuzione della ‘lode' nel voto finale dell'Esame di  Stato.  


Errori ricorrenti: quanto possiamo imparare!
Ecco una serie di errori ricorrenti che ho potuto riscontrare lo scorso anno:

 
Alcuni docenti hanno trovato questi errori ‘divertenti' e li hanno considerati quasi barzellette da raccontare nei momenti di relax. Io invece sono convinto che si possa imparare molto dall'analisi degli errori dei ragazzi: siamo noi che insegniamo loro la matematica e siamo quindi parte integrante dei loro errori.
In questi casi il problema della valutazione è superato: è chiaro che la risposta sbagliata non è da valutare in modo positivo. Il problema è un altro: perché i nostri studenti, alla soglia dell'iscrizione all'università, commettono questi errori?
Osserviamo allora ogni espressione per cercare qualche ipotesi sull'origine degli errori:

 
Facile notare che  lo studente considera 0 come un qualunque altro numero e quindi semplifica numeratore con denominatore. Ecco quel che penso su questo tipo di errore: si è verificato un classico esempio in cui lo studente non è riuscito a superare l'ambigua separazione fra immagine e pensiero, non utilizza entrambi razionalmente e non riesce a sviluppare la capacità di astrarre e di simbolizzare.

 
Troppo frequenti per poter pensare a "errori di distrazione". Secondo me ci troviamo di fronte all'applicazione di quel principio che la psicologia della Gestalt chiama ‘Principio della buona continuazione': il nostro cervello mostra la tendenza a vedere linee con un orientamento simile come parti di uno stesso contorno. A mio avviso, alcuni nostri studenti rispondono seguendo inconsciamente questo noto principio gestaltico, come illustrato nella figura qui sotto.

 

 
Sono convinto che in questo caso ci troviamo di fronte ad un ‘errore di concetto' misto ad un ‘errore di memoria'. Lo studente ricorda che ogni tanto,  quando in una frazione compare 0, la risposta è  ‘impossibile' e quindi risponde in questo modo. Forse la risposta ‘0' è sembrata troppo facile. Riporto però un'interessante spiegazione fornita da uno dei miei studenti esaminati: ‘Perché 0/1 è impossibile? Perché se mi portano 0 caramelle e io sono da solo, la divisione non ha senso. Mica posso dividere 0 caramelle solo per me stesso!'. Di fronte a questa risposta è inevitabile il pensiero alla scuola primaria, dove gli studenti sperimentano il ruolo dello zero nella divisione per la prima volta.

 
Molto interessante! Perché tutti abbiamo ascoltato gli studenti che ripetono la regola ‘ogni numero elevato a zero dà 1'. Ora il pensiero corre al primo incontro degli studenti con le potenze e, in particolare, con l'esponente 0: quante attività e riflessioni da richiamare più volte al momento opportuno, sono state dedicate a questo delicato argomento?
È un passo caratteristico dell'apprendimento imparare un procedimento e conoscerne bene il campo di applicazione: quando un bambino impara a camminare, impara anche a fermarsi prima di un muro o prima di uno scalino. Perché questo non succede nell'apprendimento della matematica?  


Analisi del testo del quesito: perché quel plurale?
Nel quesito è chiesto ‘…A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico…?'. Personalmente il plurale non mi turba: se si parla al plurale è chiaro per me che l'insieme delle soluzioni risposta è un sottoinsieme (anche nullo o improprio) dell'insieme delle soluzioni proposte, perciò potrei attribuire un valore numerico a nessuna, una o più espressioni.
Ma per uno studente? Perché usare la logica aristotelica quando siamo in un contesto di logica naturale e lo studente potrebbe pensare che le espressioni con valore numerico debbono essere più di una? A questo punto dovremmo aspettarci domande del tipo: 

 "Roma, Napoli, Bologna, Firenze, Milano. Quali sono le capitali d'Italia?"

Oppure

 "Pertini, Craxi, Berlinguer, Andreotti, Spadolini. Quali sono stati Presidenti della Repubblica Italiana?"

Vanno bene, o avremmo qualcosa da ridire?


Suggerimenti per gli studenti
Finora ho pensato di rivolgermi ai colleghi insegnanti, ma vorrei concludere rivolgendo agli studenti alcuni suggerimenti dettati dall'esperienza, in particolare di correzione di questo quesito 5.

•    Per risolvere la prova di matematica, cominciate a lavorare sui quesiti (non sui problemi): una prova con  cinque quesiti svolti correttamente e completamente dà una solida base per una valutazione positiva.

•    Leggere tutti quesiti attentamente, disporli in ‘ordine di difficoltà' e cominciare con calma a risolvere completamente il primo; scrivere nel modo più chiaro la soluzione sul foglio da consegnare e continuare così fino ad aver scritto ‘in bella copia' cinque quesiti. Prendersi un quarto d'ora di pausa, possibilmente mangiando e bevendo qualcosa di adatto e, quindi, passare  ai problemi.

•    Ricordare che, nel rispondere alla prova di matematica, ogni studente ha il diritto di scegliere i quesiti a lui più congeniali, che sono da considerare tutti equivalenti.

•    Se avete dei dubbi, specialmente su tipo e completezza delle motivazioni, chiedete qualche indicazione al commissario di matematica presente, cosa particolarmente agevole ed efficace quando si tratta di un commissario interno (come nel 2010).

•    Per ogni quesito fornire risposte sintetiche ma nello stesso tempo esaustive e spesso tabelle o grafici possono aiutare a coniugare la brevità con la completezza.

Infine…in bocca al lupo…a tutti gli studenti e a tutti gli insegnanti per un sereno Esame di Stato!

*Dottore e dottore di ricerca in fisica, è docente specializzato, attualmente insegna matematica e fisica al Liceo Statale Ginnasio "Augusto" di Roma ed è professore a contratto presso l'Università di Cassino.

Pubblicato il 29/4/2010