ALGEBRA

ALGEBRA (II, p. 421; App. II, 1, p. 125)

Gli sviluppi dell'algebra generale, o astratta, che ormai può denominarsi a. senz'altro (il termine "a. moderna" tende a cadere in disuso), sono stati così vasti e varî negli ultimi anni da far parlare di un processo di "algebrizzazione" di tutte le matematiche. Una siffatta espansione si riflette anche nel moltiplicarsi delle scuole algebriche in tutti i paesi di cultura. Continuano ad avere un posto di primo piano, ma sono ormai affiancate da scuole di altri paesi, la scuola anglosassone (in particolare: nordamericana) e tedesca, alle quali si deve principalmente la costituzione in teoria dell'a. generale, conclusasi con la pubblicazione dell'ormai classico trattato Moderne Algebra di B. L. van der Waerden (1ª ed. 1931; 2ª ed. 1937), recentemente ripubblicato dall'autore sotto il semplice titolo di Algebra. Per i principali sviluppi dell'a. fino al 1948, vedi vol. XVIII, p. 883, e App. II, 1, p. 125.

Tra i matematici che svolgono la loro attività negli U. S. A. ricordiamo A. Albert, N. Jacobson, Marshall Hall, Garrett Birkhoff, A. M. Gleason, S. Eilenberg, R. D. Schafer, O. Zariski, I. Kaplanski; tra gli inglesi Ph. Hall, G. Higman, D. Rees; tra i tedeschi R. Baer, E. Witt, E. Kähler, H. Hasse, G. Pickert; in Russia i capi-scuola possono essere considerati A. G. Kuroše A. Malcev. Tra i francesi menzioniamo H. Cartan, J. P. Serre; P. e M.-L. Dubreil, L. Lesieur, R. Croisot, M. Krasner; C. Chevalley, A. Weil; P. Samuel, J. Dieudonné, M. Lazard, che rappresentano campi e indirizzi diversi. Se pure limitate ad alcuni dei numerosi indirizzi nei quali l'algebra generale è ormai ramificata, scuole importanti sono sorte, e si sono affermate, in molti altri paesi: dal Giappone al Canada alla Rumenia (Moisil) all'Ungheria all'India, ecc.

In Italia sono stati compiuti considerevoli progressi tra il 1945 e oggi. L'insegnamento di Gaetano Scorza (S-117??? 1939), per influenza diretta o indiretta, ha formato alcuni allievi, tra cui G. Zappa, e J. Barsotti (dal 1948 negli Stati Uniti), i quali a loro volta hanno fatto sorgere gruppi di più giovani studiosi.

Accanto alle ricerche propriamente algebriche va ricordata l'influenza più diretta dell'algebra in altri campi della matematica, influenza che giunge talvolta a formare nuovi strumenti di indagine. Per quanto riguarda in particolare i contributi dell'algebra alla geometria algebrica" v. geometria, in questa App.

Attuale assetto dell'algebra. - In questa prima parte delineeremo assai sommariamente (rinunciando a priori a ogni pretesa di completezza) l'attuale assetto dell'a., secondo il seguente schema: 1. Definizione generale di sistema algebrico (algebra"): concetti e metodi generali. 2. Diversi tipi di a. (strutture algebriche). 3. Rapporti tra le strutture algebriche e altre strutture matematiche. Esporremo succintamente in una seconda parte (Teoria degli anelli e delle algebre) alcuni progressi compiuti negli ultimi anni nello studio di determinati sistemi "a doppia composizione" di particolare importanza.

1. Chiameremo (con G. Birkhoff) algebra universale, o semplicemente a., un insieme A di elementi (di natura qualsiasi) nel quale è definita una famiglia di funzioni univalenti _fα (operazioni, o leggi di composizione), ciascuna delle quali associa, per un dato intero n = n(α), a ogni n-pla ordinata di elementi (x₁,..., x_n) di A un elemento f_α (x₁,..., x_n) anch'esso di A (il valore, o il risultato, dell'operazione f_α). Se n = n(α) è l'intero associato all'operazione f_α essa si dirà una operazione n-aria (binaria, ternaria, ecc. per n = 2, 3, ...). Si osservi che le f_α possono a priori costituire anche una famiglia infinita, mentre ogni n = n(α) si suppone finito. Se si aggiunge l'ipotesi che un certo insieme (Σ) di uguaglianze, contenenti al 1° e al 2° membro espressioni costruite mediante le f_α, siano identicamente soddisfatte in A, si dirà che A verifica il sistema di assiomi (Σ). L'estrema generalità di questa definizione la rende non utilizzabile per ricerche costruttive, ma quanto mai adeguata per riassumere in modo unitario alcuni concetti e alcuni metodi generali, essenziali nello studio di classi più particolari di sistemi algebrici. Così, l'a. A si dirà omomorfa (isomorfa) alla A′ se: (1) a ogni operazione n-aria f_α di A si può fare corrispondere biunivocamente una fα′ di A′, anch'essa n-aria; (2) A si può rappresentare univocamente (biunivocamente) su A′ in modo che il corrispondente di f_α (x₁,..., x_n) sia fα′ (x1′,..., xn′). Più brevemente si dirà che un omomorfismo (un isomorfismo) è una corrispondenza univoca (biunivoca) che "conserva le operazioni" tra due algebre A e A′ le quali "ammettono le stesse operazioni". A ogni omomorfismo tra A e A′ si può associare una "relazione di congruenza" Θ, considerando equivalenti gli elementi di A che hanno la medesima immagine in A′; allora, se X₁,..., X_n sono n classi di elementi equivalenti "modulo Θ", l'immagine del sottoinsieme f_α (X₁,..., X_n) di A è l'elemento fα′ (x1′,..., xn′) di A′ (x_i essendo un qualsivoglia "rappresentante" di X_i), e A′ è isomorfa all'"algebra quoziente" (o "differenza") A_Θ composta dalle "classi resto di A modulo Θ″", sopra definite. Viceversa, è subito visto che A è omomorfa ad A_Θ, se Θ è una congruenza qualsivoglia, cioè una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva) tra gli elementi di A, per la quale, se x_i ⊄ y_i mod Θ (i = 1,..., n), si ha sempre: f_α (x₁,..., x_n) ⊄ f_α (y₁,..., y_n) mod Θ (queste considerazioni generali, applicate a classi di algebre particolari, conducono ai noti "teoremi di omomorfismo" dei gruppi, degli anelli, ecc.).

Si consideri la classe A delle algebre che (nel senso chiarito) "ammettono le stesse operazioni f_α"; oppure la sottoclasse A (Σ) di A costituita dalle algebre A con operazioni f_α soddisfacenti un certo insieme di assiomi, cioè di identità (ad es., la legge associativa: (xy)z = x(yz) nel caso di una operazione binaria f scritta come prodotto). Il problema della classificazione delle algebre di una classe A [A (Σ)] viene oggi affrontato partendo dalla cosiddetta algebra libera L_t [L_t (Σ)] con t generatori, associata alla classe L_t[L_t (Σ)], e al numero cardinale t, finito o infinito. Accenneremo qui soltanto, senza pretese di rigore, a una delle possibili definizioni di L_t [di L_t (Σ)], quella costruttiva. Gli elementi di L_t sono le espressioni formali che si ottengono a partire da t simboli x_i eseguendo successivamente su di essi e sulle espressioni via via più complesse che da essi si ottengono, in tutti i modi possibili, le operazioni f_α. Nel caso di L_t due espressioni formalmente diverse rappresentano elementi distinti; nel caso di L_t (Σ) sono invece daidentificare in un unico elemento le espressioni formali che si possono ottenere l'una dall'altra utilizzando le identità del sistema (Σ).

Per fissare le idee, si consideri il caso più semplice, quello delle a. con una sola operazione binaria, per le quali useremo la notazione del prodotto ordinario (gruppoidi moltiplicativi). Allora gli elementi dell'algebra libera L_t saranno le parole formate usando come "lettere" i simboli x_i, anche ripetuti, e scritte con una distribuzione di parentesi atte a individuare il prodotto di detti simboli in una moltiplicazione non associativa; saranno, per es., parole le espressioni: (x₁x₂) (x₁x₃); (x₂x₃) ([x₁x₂]x₁); {[x₁x₂]x₃)x₁}(x₂); ecc. Come prodotto di due parole dovrà assumersi la parola che si ottiene scrivendo le due parole, ciascuna racchiusa tra parentesi, l'una di seguito all'altra. Per ottenere invece il gruppoide associativo libero con lo stesso numero di generatori occorrerà identificare le parole che si ottengono l'una dall'altra utilizzando la legge associativa. Da considerarsi ormai classica la teoria dei gruppi abeliani liberi con t generatori (v. gruppo, in questa Appendice).

Presa un'a. A con le stesse operazioni f_α e t generatori (ogni elemento di A può essere costruito a partire da t elementi indipendenti, nessuno dei quali cioè è contenuto nella subalgebra generata dai rimanenti), essa sarà un'immagine omomorfa di L_t [di L_t (Σ)] se in A sono verificati gli assiomi (Σ), sarà cioè isomorfa all'a. quoziente di L_t, modulo una congruenza Θ.

Nel caso degli ordinarî anelli non associativi (v. oltre) un anello A con t generatori sarà isomorfo all'anello quoziente dell'anello libero L_t rispetto a un suo ideale I; gli elementi generatori di detto ideale saranno certi "polinomî formali" nei simboli x_i, costituenti le relazioni di definizione di A, da non confondere con gli assiomi verificati da A (A. G. Kuroš).

2. Strutture algebriche. - Sulle operazioni f di un'a. A e sul sistema (Σ) d'identità (assiomi) da esse verificate si possono fare dal punto di vista logico ipotesi qualunque purché non contraddittorie. Lo sviluppo storico concreto della ricerca ha messo però finora in luce alcune classi determinate di strutture algebriche; assiomatiche arbitrarie e generalizzazioni immotivate appaiono come costruzioni artificiose e marginali. Le a. finora studiate sono dotate (generalmente) di una, o due, operazioni binarie. Il concetto di gruppoide, a. con una sola operazione binaria, generalizza quello di gruppo; significativi progressi sono stati compiuti nell'ultimo quindicennio dalla teoria dei gruppoidi associativi (i "demigroupes" di P. Dubreil) e da quella dei gruppoidi (non associativi) con divisione (quasi-gruppi, o cappî, dall'ingl. loop); per tali sviluppi, così come per i recenti progressi della classica teoria dei gruppi, si rinvia alla voce gruppo in questa App. Quanto alle a. dotate di due operazioni binarie, si rinvia alla seconda parte di questo articolo per alcune tra le strutture più importanti (anelli, e algebre propriamente dette). Altra fondamentale struttura di questa categoria sono i "reticoli" (ingl. "lattice"; tale denominazione ha preso il posto di quella di "struttura", App. II, 11, p. 923; vedi reticoli in questa App.).

Solo di recente hanno acquistato rilievo alcune classi di algebre con una operazione ternaria; tra di esse segnaliamo i corpi ternarî di Marshall Hall (1943), che si presentano quando si introducono coordinate in un piano non arguesiano, e pertanto generalizzano i corpi ordinarî. Si tende oggi verso la deduzione delle operazioni di a. con composizioni binarie da una operazione ternaria f, ponendo ad es. f_u(x,y) = f(x, u, y), con u elemento fisso della terna ("centrale", come in questo esempio, oppure "laterale"). Cosi V. V. Wagner ha collegato i gruppoidi associativi alle "pseudoschiere ternarie"; M. Kolibiàr ha tratto le due operazioni binarie, di unione e intersezione, di un reticolo da un'unica operazione ternaria.

3. Nella impostazione dell'ormai famoso trattato del gruppo "Bourbaki", le strutture algebriche costituiscono uno dei tre tipi fondamentali di strutture matematiche, accanto alle strutture d'ordine e a quelle topologiche. Accade già in casi elementari che una struttura algebrica sia dotata anche di una struttura d'ordine e di una topologia (si pensi all'insieme dei numeri reali relativi). Uno degli indirizzi fondamentali della ricerca più recente appare quello della "sovrapposizione" a una struttura algebrica di un ordinamento, parziale o totale, o di una topologia. La teoria dei "gruppi topologici" (legata al nome di L. S. Pontrjagin), che trae origine da quella dei "gruppi continui del Lie" risale ormai a 25 anni fa (v. gruppo, in App. II, 1, p. 1096). Ma sono stati studiati anche gruppi, gruppoidi, corpi, corpi ternarî ecc. ordinati; si è sviluppata la teoria delle varietà gruppali, cioè delle varietà algebriche dotate di una struttura di gruppo (ricordiamo il contributo dell'italiano J. Barsotti); sempre maggior rilievo acquistano gli studî dedicati ad anelli (algebre) connessi ad enti geometrici, dotati di una struttura topologica (anelli locali) correlata agli ideali. Accade inoltre di dovere spesso considerare la sovrapposizione di due strutture algebriche (gruppi-reticoli, gerbiers, ecc.), oppure che lo studio di una struttura algebrica venga illuminato da quello di un'altra, i cui elementi sono sottoinsiemi notevoli della prima (ad es., i sottogruppi di un gruppo costituiscono un reticolo di fronte alle operazioni di "unione" e di "intersezione" di due sottogruppi in un gruppo: tale reticolo è stato studiato profondamente da G. Zappa e M. Suzuki). Particolarmente stretto appare oggi il rapporto tra algebra e topologia. Strutture e concetti algebrici sono da tempo uno strumento fondamentale della topologia combinatoria (v. topologia, in questa App.); più recentemente, procedimenti topologici sono stati fruttuosamente introdotti nella ricerca algebrica in senso stretto, in particolare con lo sviluppo della teoria della coomologia (S. Eilenberg, S. MacLane e altri).

Teoria degli anelli e delle algebre. - Una struttura algebrica A a doppia composizione binaria ("addizione" e "moltiplicazione") si chiamerà un anello se: (I) A rispetto all'addizione è un gruppo abeliano A⁺ per l'elemento neutro del quale si adotterà il simbolo 0 ("zero"); (II) valgono le due leggi distributive, destra: a(b + c) = ab + ac, e sinistra: (b + c) a = ba + ca (che lo 0 sia annullatore: 0 . a = a . 0 = 0, segue da (I), (II)). Un anello A con un campo di operatori Γ si ha quando è definito un "prodotto" γα ("prodotto scalare") tra gli elementi a di A e quelli γ di Γ ("scalari" o "operatori"), tale che: (1) γa appartiene ancora ad A; (2) γ (a + b) = γa + γb; (3) γ (ab) = γa . b = a . γb. Se Γ è un campo (corpo commutativo), e se A⁺ è uno spazio vettoriale (v. spazio, in questa App.) sopra, Γ, allora l'anello A con il campo di operatori Γ si chiama un'algebra su Γ (a base infinita o finita, a seconda che A⁺ è uno spazio vettoriale a base infinita o finita). La generalizzazione essenziale, rispetto alle ipotesi ammesse, o effettivamente usate, fino a 10-15 anni or sono (XVIII, p. 883; App. II, 1, p. 125), consiste nella rinuncia all'associatività della moltiplicazione. Se pure, in singoli casi, si studiano oggi anche anelli non distributivi, o tali che A⁺ sia un gruppo non abeliano, ecc., tuttavia riteniamo che il grado di generalità adeguato all'attuale situazione della ricerca sia quello contenuto nelle definizioni ora adottate. Poiché i lineamenti della teoria delle algebre associative sono stati già trattati nella voce algebra dell'App. II, qui di seguito diremo qualcosa soltanto (o quasi) sulle algebre non associative.

Le a. non associative per prime, e più profondamente, studiate sono le algebre di Lie, definite dalle identità (assiomi): (L₁) x² = 0; (L₂) (identità di Jacobi) (xy) z + (yz) x + (zx) y = 0 (da (x + y)² = 0 = x² = y², si deduce l'anticommutatività, o "alternanza" del prodotto: xy = − yx).

Nella classica teoria dei gruppi continui di S. Lie, si considerano certe "trasformazioni infinitesime" X_i, costituenti uno spazio vettoriale (sul campo reale o complesso); introducendo tra di esse il prodotto definito dal commutatore: (X_iX_j) = X_iX_j − X_jX_i (v. gruppo, XVII, p. 1012; App. II, 1, p. 1096), si ha il primo esempio storico di algebra di Lie. La attuale generalizzazione non consiste solo nella assiomatizzazione, ma: (a) nella considerazione di anelli (anelli di Lie) verificanti le (L_i); (b) nell'arbitrarietà del campo Γ sul quale è definita l'a.; (c) nello studio di a. di Lie con "rango" (base) infinito.

Ad un anello associativo A (con operatori Γ) si può sempre associare un anello di Lie A⁰ (con i medesimi operatori Γ) introducendo come nuovo prodotto (non associativo) tra due elementi x, y il commutatore [x, y] = xy − yx. Si dirà che un anello di Lie L (con operatori Γ) è speciale ("ammette una rappresentazione fedele") se L è isomorfo a un subanello (con operatori Γ) di A⁰, essendo A associativo (con operatori Γ). È naturale chiedersi, innanzitutto, se ogni possibile anello di Lie sia, o no, speciale. E. Witt (1953) e M. Lazard (1954) hanno dato risposta positiva al problema sotto determinate ipotesi per l'anello Γ degli operatori; tali risultati includono il caso di un anello di Lie senza operatori, ed estendono il teorema di G. Birkhoff e E. Witt (1937) per il quale ogni a. di Lie, di rango qualsiasi, su di un campo qualsiasi, è speciale.

Un esempio di A. I. Širšiov (1953) mostra però l'esistenza di anelli di Lie con operatori non speciali. Nel caso del rango (o dimensione) finito, I. D. Ado (1947) ha dimostrato che ogni a. di Lie di dimensione finita sul campo complesso non solo è speciale, ma ammette una rappresentazione fedele in un anello di dimensione finita; tale teorema è stato esteso da Harish Chandra e Iwasawa (1948-49) ad altri campi, in particolare a tutti i campi a caratteristica 0.

Un anello di Lie è un esempio particolare di anello con potenze associative (ingl. "power-associative"), cioè di un anello nel quale ogni singolo elemento a genera un subanello associativo. Poiché, nel caso degli anelli associativi, ogni terna di elementi genera un (sub) anello associativo, è naturale considerare anche il caso "intermedio", nel quale ogni coppia, x, y dell'anello genera un subanello associativo. Si hanno così gli anelli alternativi (essi possono essere definiti anche dalle identità: [x, y, y] = 0, [x, x, y] = 0, dove [a, b, c] = [ab]c-a[bc] è l'associatore; dalle identità ora scritte segue la [x, y, x] = 0, e, per un teorema di Artin, l'associatività del subanello generato da una coppia). Si chiama corpo alternativo (più propriamente: quasi-corpo alternativo), un anello alternativo con divisione (le equazioni ax = b, ya = b sono univocamente risolubili). Si hanno poi anelli (corpi) alternativi destri (o sinistri) se si suppone verificata solo la condizione [x, y, y] = 0 (o, rispettivamente, la [x, x, y] = 0). Un corpo alternativo è l'anello delle coordinate di un piano "microdesarguesiano" o di Ruth Moufang.

Centro di un corpo alternativo K è l'insieme degli elementi x per i quali: [xK]=0, [xKK]=0; il centro è un corpo, e K un'algebra su di esso: caratteristica di K è quella del suo centro; K è proprio se non coincide col centro. Ogni corpo alternativo finito è un corpo, e quindi un campo (Zorn, 1930). Ogni anello alternativo semplice, cioè privo di ideali bilateri (Bruck e Kleinfeld, 1951), in particolare un corpo alternativo (L. S. Skornjakov, 1951), di caratteristica dispari, è un'"a. di Cayley-Dickson" (si tratta di a. di dimensione 8 che generalizzano un primo esempio di Cayley, del 1845; gli "ottetti" di Cayley costituiscono un'a. di dimensione 8 sul campo reale, e sono le coppie (p, q) di quaternioni reali, con le seguenti operazioni: (p₁,q₁) + (p₂,q₂) = (p₁ + p₂,q₁ + q₂); (p₁,q₁)•(p₂,q₂) = (p₁p₂ − q̄₂q₁, q₂p₁ + q₁p̄₂), dove il soprassegno indica il coniugio tra quaternioni; qualora esso indichi il coniugio tra complessi, e gli elementi p, q, siano complessi, le stesse regole definiscono il corpo dei quaternioni, di dimensione 4 sul campo reale). R. L. San Soucie (1955) si è occupato della classificazione degli anelli alternativi (destri) di caratteristica 2; gli autori prima citati hanno precisato poi le condizioni sotto le quali un anello alternativo destro è alternativo senz'altro (tale è sempre, secondo un teorema dello Skornjakov, un corpo alternativo destro).

Una particolare classe di a. (di anelli) con potenze associative oggi assai studiata è quella delle a. di Jordan (J-a.). Indicando il prodotto con "×", ecco gli assiomi di una J-a.: a × b = b × a; (a² × b) × a = (a²) × (b × a). Una J-a. si dice speciale quando è isomorfa a una subalgebra di un'a. A⁽⁺⁾, A⁽⁺⁾ essendo la J-a. che si deduce da una a. A associativa, in caratteristica diversa da 2, definendo un nuovo prodotto con la formula: a × b = 1/2 (ab + ba). Non ogni a. di Jordan è speciale, come è dimostrato tra l'altro da un importante esempio che è stato costruito da A. Albert nel 1950.

Alcuni concetti relativi alla teoria classica della struttura di un'a. associativa (v. algebra, App. II, 1, p. 125) non dipendono dall'associatività: tali sono quelli di subalgebra, ideale, a. semplice, somma diretta, nonché quelli (v. 1ª parte) di isomorfismo, di omomorfismo, di a. quoziente (o "differenza"). Invece le diverse definizioni di radicale, equivalenti in un'a. associativa (v. algebra, App. II, 1, p. 125, dove talvolta il radicale è detto "sottoalgebra eccezionale"; un ideale, una "sottoalgebra invariante propria"), non solo non sono più equivalenti in un'a. non associativa, ma non sono neppure adeguate per costruire una teoria della struttura-analoga a quella associativa, e sia pure limitata a questa o a quella classe di a. "debolmente associative" (come le classi finora prese in esame, nelle quali sono verificati assiomi di "associatività debole"). Tuttavia, con appropriate definizioni del radicale, si è riusciti a sviluppare una teoria ricca, e relativamente generale, della struttura anche nel caso non associativo, teoria dovuta essenzialmente a A. Albert e N. Jacobson (ma ricordiamo anche R. D. Schafer, A. Malcev, A. G. Kuroš).

Si è data la preferenza a qualche nozione di a. non associativa, si avverte però che gli sviluppi più importanti, anche nell'ultimo quindicennio, si sono avuti nell'ambito delle a. e degli anelli associativi. La teoria degli anelli associativi e commutativi si è grandemente sviluppata nel fecondo rapporto con la geometria algebrica. Tra gli anelli associativi e non commutativi, grande rilievo hanno riacquistato gli ampliamenti alternanti, o esterni, di anelli commutativi A; si tratta degli anelli dei polinomî su A in n indeterminate x_i, sui quali si opera con le regole dell'a. ordinaria, ponendo però x_i x_j = − x_j x_i ("calcolo esterno" di Grassmann, oggi collegato alla teoria degli Integrali armonici, v. in questa App.).

Bibl.: Fino al 1948, si rinvia alla voce algebra, App. II, i, 125. Per la parte generale: N. Jacobson, Lectures in abstract algebra, Princeton 1951; G. Pickert, Einführung in die höhere Algebra, Gottinga 1951; O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra, I, Princeton 1958; U. Morin, Algebra astratta, Padova 1955; B. L. van der Waerden, Algebra (2 voll., 4ª ed.), Berlino 1955-59. Per alcune classi di strutture algebriche: A. G. Kuroš, Gruppentheorie (appendice di B. H. Neumann), Berlino 1953; M. Hall, Theory of groups, New York 1959; A. K. Suškevič, Teorija obobscennih grupp, Charkov-Kiev 1937; Garrett Birkhoff, Lattice Theory, revised edition, New York 1948; M. L. Dubreil-Jacotin, L. Lesieur, R. Croisot, Leçons sur la théorie des treillis, des structures algébriques ordonnées et des treillis géométriques, Parigi 1953; G. Pickert, Projektive Ebenen, Berlino 1955. Per i rapporti tra algebra, geometria, topologia, analisi: R. Baer, Linear algebra and projective geometry, New York 1952; H. Cartan-S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton 1956; P. Samuel, Algèbre locale, Parigi 1953; id., Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, Berlino 1955; B. Segre, Forme differenziali e loro integrali, Roma 1955; E. Kähler, Algebra und Differentialrechnung, Berlino 1958. Per le algebre non associative, in mancanza di trattati, si rinvia ai seguenti articoli: R. D. Schafer, Structure and representation of non-associative algebras, Bull. Am. Math. Soc., 1955; A. G. Kuroš, Sovremennoe sostojanie teorii kolec i algebr, Usp. Mat. Nauk, 1951; A. I. Širšov, Nekotorye voprosy teorii kolec, blizkich k associativnym, ibidem 1958.