Peano, assiomi di

Peano, assiomi di

Peano, assiomi di insieme di assiomi che definisce l’insieme N dei numeri naturali e permette di costruire l’aritmetica come sistema ipotetico-deduttivo. La teoria dei numeri naturali, e quindi l’aritmetica, è una delle branche fondanti della matematica. Tuttavia, mentre la geometria è stata presentata, da Euclide in poi, come un sistema ipotetico-deduttivo in cui ogni proprietà o teorema deve essere logicamente dedotto dagli assiomi, l’aritmetica è rimasta non formalizzata sino alla fine dell’Ottocento. Solo allora alcuni matematici quali G. Frege, R. Dedekind e G. Peano cercarono di definire formalmente i numeri naturali e di dimostrare le loro proprietà a partire da un ristretto insieme di assiomi. I cinque assiomi di Peano, esposti nell’opera Arithmetices principia nova methodo exposita (1889), sono diventati nel Novecento (in particolare nel contesto della crisi dei → fondamenti della matematica) uno strumento di base per la ricerca fondazionale e un elemento imprescindibile dell’apparato simbolico della logica. Tali assiomi sono stati riformulati in linguaggio matematico contemporaneo, a partire dalle nozioni di «numero naturale», «zero» e «successore di un numero naturale», assunti come enti primitivi:

• zero è un numero naturale;

• se n è un numero naturale, anche il successore di n è un numero naturale;

• se i successori di due numeri naturali sono uguali, allora i due numeri sono uguali;

• zero non è successore di alcun numero naturale;

• se A è un insieme di numeri naturali che contiene lo zero e il successore di ogni numero appartenente a esso, allora A coincide con tutto l’insieme dei numeri naturali.

L’ultimo assioma è noto come principio di induzione matematica e può essere riformulato in modo equivalente come segue: «se P è una proprietà concernente i numeri naturali soddisfatta da zero e tale che, se è soddisfatta da un dato numero naturale, lo è anche dal suo successore, allora P è soddisfatta da ogni numero naturale». Occorre notare che nella formulazione originaria, Peano definì i numeri naturali a partire da 1 e non da 0; inoltre formulò il terzo assioma attraverso la proposizione → contronominale: due numeri naturali diversi hanno successori diversi.

Questi cinque assiomi definiscono l’insieme dei numeri naturali N. A partire dagli assiomi di Peano è possibile definire le operazioni sull’insieme dei numeri naturali e dimostrare molte proprietà e teoremi della teoria dei numeri. Il sistema di assiomi proposto da Peano non può essere considerato, a rigore, un sistema formale in senso stretto perché gli assiomi sono espressi utilizzando concetti intuitivi, quale per esempio quello di uguaglianza; tuttavia è possibile tradurre formalmente gli assiomi di Peano nel linguaggio dei predicati considerando lo zero come una costante individuale, che sarà indicata sempre con il simbolo 0, l’uguaglianza come una lettera predicativa e introducendo l’addizione, la moltiplicazione tra naturali e lo stesso successore come lettere funzionali. Si ha così un sistema, talvolta indicato con S, che esprime formalmente l’aritmetica come teoria del primo ordine, i cui assiomi sono i seguenti:

S₁: (x₁ = x₂) ⇒ ((x₁ = x₃) ⇒ (x₂ = x₃))

S₂: (x₁ = x₂) ⇒ (x₁′ = x₂′) (dove la scrittura x′ indica il successore di x)

S₃: 0 ≠ x₁′

S₄: (x₁′ = x₂′) ⇒ (x₁ = x₂)

S₅: x₁ + 0 = x₁

S₆: x₁ + x₂′ = (x₁ + x₂)′

S₇: x₁ ⋅ 0 = 0

S₈: x₁ ⋅ x₂′ = (x₁ ⋅ x₂) + x₁

S₉: se P(x) è una formula ben formata di S, allora P(0) ⇒ ((∀x(P(x) ⇒P(x′ ))) ⇒ ∀xP(x))

Di seguito si confrontano gli assiomi di Peano con quelli del sistema S, evidenziando le analogie e le differenze fra i due sistemi. Si noti che, mentre gli assiomi da S₁ a S₈ sono delle formule ben formate del calcolo dei predicati, l’assioma S₉ è uno schema di assiomi; si tratta cioè di un enunciato che può generare infiniti assiomi, uno per ogni formula P(x) del sistema S. L’assioma S₉ corrisponde al quinto assioma di Peano, cioè al principio di induzione. Tuttavia, questa corrispondenza è solo parziale. Infatti, mentre il principio di induzione si riferisce a tutte le proprietà che si possono enunciare sui numeri naturali (le quali costituiscono un insieme di cardinalità superiore al numerabile), l’assioma S₉ può esprimere solo un insieme numerabile di proprietà: quelle definite dalle formule ben formate di S. Gli assiomi S₃ e S₄ corrispondono rispettivamente agli assiomi di Peano 3 e 4, mentre gli assiomi di Peano 1 e 2 vengono inglobati in S grazie alla presenza della costante 0 e del simbolo funzionale dell’apice che indica il successore. Gli assiomi S₁ e S₂ enunciano alcune proprietà dell’uguaglianza che, negli assiomi di Peano, venivano implicitamente assunte come vere. Gli assiomi S₅-S₈ sono le definizioni ricorsive di addizione e moltiplicazione. Anche il buon ordinamento di N è deducibile da questo insieme di assiomi. Nel sistema assiomatico di Peano non è necessario esplicitare queste definizioni perché possono essere ricavate dagli assiomi facendo uso della teoria ingenua degli insiemi la cui contraddittorietà verrà evidenziata nel 1902 da Russell (si veda → Russell, antinomia di).