Associativita

Enciclopedia della Matematica (2013)

associativita


associatività o proprietà associativa, proprietà di un’operazione binaria ∗: A × A A, definita su un insieme A come segue: comunque siano a, b, c elementi di A, vale (ab) ∗ c = a ∗ (bc), dove le parentesi indicano, come sempre, una priorità di calcolo. Se vale tale proprietà è quindi indifferente l’ordine con cui si eseguono le operazioni e le parentesi possono essere abolite. Tale proprietà vale per l’addizione di numeri reali, giacché (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c, e per la moltiplicazione, giacché (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c, qualunque siano a, b, c numeri reali. Essa non vale tuttavia né per la sottrazione, giacché in generale (a b) − c a − (bc) né per la divisione tra numeri reali (infatti, in generale: (a : b) : c a : (b : c) né per l’elevazione a potenza. Si consideri infatti che, per esempio:

formula

mentre:

formula

La proprietà associativa è una delle proprietà caratterizzanti la struttura di gruppo e conseguentemente di altre strutture algebriche ( anello, corpo, campo).

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