GEODETICA, BASE

Enciclopedia Italiana (1932)

GEODETICA, BASE

Luigi Carnera

. Base geodetica, o topografica, è il lato su cui poggia la triangolazione geodetica, o topografica di una regione, e la cui lunghezza esatta risulta da una misura diretta. Nel caso delle misure topografiche, essendo limitata l'estensione del terreno, su cui si svolgono le operazioni, e limitato l'ordine di precisione che per esse è richiesto, si fa uso di mezzi di limitata precisione; è invece indispensabile la massima cura e precisione, quando si tratta di basi geodetiche, costituendo esse l'elemento essenziale nelle determinazioni di lunghezza degli archi di meridiano o parallelo terrestre, e quindi anche nelle determinazioni della forma e delle dimensioni della Terra. La base geodetica dovrebbe essere teoricamente non una linea retta, ma un arco di linea geodetica tracciato sulla superficie del geoide (v. geodesia), e precisamente quello che congiunge i due primi vertici della triangolazione. Praticamente però, dovendo eseguire le misure sul terreno, per scostarsi il meno possibile dalle condizioni ideali, vengono scelte per queste operazioni località pianeggianti, potendo ritenere che esse non si scostino molto dal geoide.

Nei singoli casi bisogna tener conto delle caratteristiche del terreno, ove viene tracciata la linea base, e particolarmente dell'altezza sul livello del mare dei due estremi e dell'altezza relativa dei diversi punti della linea stessa, onde ridurre la lunghezza misurata a quella che si sarebbe avuta, se i punti estremi fossero stati al livello del mare, e la linea di base si fosse svolta in tutta la sua lunghezza al livello del mare. La condizione d'essere un arco di geodetica risulta praticamente soddisfatta, senza che ne derivi un errore sensibile, assumendo invece o l'arco di sezione normale in uno degli estremi passante per il secondo, ovvero una successione di tali archi di sezioni normali. Praticamente poi non conviene neppur assumere quale base geodetica il primo lato della triangolazione, ché essa risulterebbe in tal caso della lunghezza di una trentina di chilometri, e si avrebbe difficoltà non solo a trovare un terreno adatto, ma anche a eseguire la misura stessa, che riuscirebbe operazione assai laboriosa, e di conseguenza poco propizia a buoni risultati. Per le esperienze fatte fino a oggi si preferisce dare alle basi geodetiche una lunghezza compresa fra i 4 e i 6 km. e poi partendo da questo primo lato con una piccola triangolazione speciale, detta di sviluppo, arrivare ai primi due vertici della vera e propria triangolazione. Per ogni base geodetica dovremo quindi distinguere tre momenti o fasi di lavoro: la scelta del terreno e il tracciamento della linea da misurare; la misura vera e propria della linea; e la triangolazione di sviluppo.

Tracciamento della linea. - Scelto che sia nella regione in cui devono svolgersi le operazioni di triangolazione, un terreno piano, adatto per i lavori ulteriori, si fissano sul terreno i punti A e B destinati a diventare gli estremi della base. Collocato sulla verticale del punto A un teodolite, dopo averlo esattamente rettificato, si collima col cannocchiale il punto B; se si fa rotare allora il cannocchiale intorno all'asse orizzonta le, l'asse di collimazione descriverà evidentemente il piano normale in A passante per B, e la sezione di questo piano col terreno sarà la sezione normale, che potrà essere assunta o come traccia della base, o come traccia di un suo primo segmento. Segnato allora sulla linea così individuata sul terreno, a una distanza di 200 o 300 metri da A, un terzo punto C, potremo collocare in C il teodolite, e ripetere da questo punto le operazioni fatte prima in A, e segnare sul terreno la traccia di un secondo segmento della linea fino ad un quarto punto D, distante da C quanto questo dista da A, e continuare poi in egual modo fino a giungere all'estremo B. La successione dei segmenti così ottenuti sarà la traccia della linea da misurare, e da assumere come base geodetica; e il procedimento potrà essere considerato scientificamente rigoroso e corrispondente alla definizione data più sopra, peiché su di un ellissoide di rotazi0ne, che abbia le dimensioni della Terra, la geodetica congiungente due punti distanti fra di loro al massimo 20 km., non si scosta mai per più di 10 mm. dalla sezione normale in uno dei due punti che passi per il secondo.

Il tracciamento della linea implica la fissazione preventiva e rigorosa dei due punti estremi. Questi vengono individuati abitualmente da due robusti pilastri in muratura, aventi tali fondazioni nel terreno da poter esser sicuri della loro immobilità. Nel centro della faccia superiore orizzontale, e di solito a una certa profondità rispetto al terreno circostante, si fissa un segnale di metallo non ossidabile (platino) o pietra dura (generalmente agata) portante incisa o una croce sottile o un sistema di cerchi concentrici in modo che risulti individuato rigorosamente l'estremo della base. Compiute poi tutte le operazioni di misura, sia quelle della lunghezza della base, sia quelle degli angoli della triangolazione di sviluppo, si protegge il segnale con una costruzione opportuna, come si può vedere a esempio nella figura 1, che mostra l'estremo della base di Piombino. Per facilitare poi i controlli delle misure, si suole costruire in corrispondenza dei punti C, D,... sopra accennati, o almeno per alcuni di essi, piccoli pilastrini di carattere provvisorio, muniti di una piastra metallica con l'indicazione del punto esatto di allineamento (fig. 2).

Unità di misura. - La misura della base consiste nel vedere quante volte una determinata lunghezza, assunta come unità di misura, è contenuta nel tratto di linea tracciato, compreso fra i due estremi. Per ottenere buoni risultati bisogna non solo usare tutte le possibili cure nell'esecuzione delle singole operazioni, ma anche scegliere opportunamente l'unità materiale di misura. Basta pensare, infatti, che l'errore massimo totale tollerato nella lunghezza di una base, non deve superare 1/100.000 della lunghezza totale, e che vi sono basi in cui l'errore non arriva neppure alla decima parte di questo errore minimo, per comprendere che l'unità di misura adoperata nelle operazioni non dovrà, per sé stessa, provocare errori che arrivino a un milionesimo della sua lunghezza, e che quindi, quando si operi con aste di 4 0 5 metri, si deve conoscere in ogni istante la loro lunghezza effettiva a meno solo di qualche micron. I.'unità di misura dovrà essere pertanto rigida e indeformabile, non soggetta a rapidi deterioramenti in conseguenza dell'uso, e tale da permettere un rigoroso riferimento alle unità fondamentali di misura (metro campione, tesa del Perù, ecc.). Escluso pertanto il legno, si dovette ricorrere alle aste metalliche, e per potere tener conto esatto delle variazioni di lunghezza dovute alle variazioni di temperatura, si adottarono in passato i sistemi costituiti da due aste di metalli diversi. Solo negli ultimi anni, dopo la scoperta della lega di acciaio e nichelio, detta "invar" per il suo piccolissimo coefficiente di dilatazione lineare, poterono essere cambiate con buon successo le caratteristiche essenziali dell'unità di misura, sia sostituendo l'asta bimetallica con quella monometallica di invar, sia adottando, in luogo dell'asta rigida, fili o nastri della stessa lega metallica, ma di notevole lunghezza, che, come vedremo, sono tenuti tesi durante le operazioni di misura con opportuni pesi. Dal modo diverso con cui vengono usate le unità di misura, derivarono i diversi tipi di apparecchi ideati per queste operazioni: tutti però si possono ricondurre in sostanza a questi tre: quelli a spranghe multiple, aventi quale prototipo l'apparato di F. W. Bessel (v); quelli a spranga unica, che derivano dall'apparato di C. Ibáñez (v.); e quelli a fili o nastri, che ebbero origine dall'apparato di E. Jäderin (v.). Rimettendo alle diverse voci le descrizioni degli apparecchi rispettivi, ecco rapidamente come si procede nei singoli casi alle misure, che constano sempre alla lor volta delle tre operazioni distinte: allineamento dell'unità di misura lungo la linea di base; misura vera e propria; riferimento delle misure fatte ai punti a terra (estremi di base, punti a terra di controllo, ecc.).

Allineamento. - Alla distanza di 150-160 m. l'uno dall'altro, si costruiscono preventivamente, lungo il tracciato della linea da misurare, dei banchetti costituiti da una robusta asse orizzontale di legno, sorretta da due pali conficcati a forza nel terreno in guisa da risultare normale alla linea di base. Sull'asse, ad altezza di circa un metro dal suolo, si colloca, in corrispondenza del punto già segnato in precedenza e trovantesi rigorosamente nel piano verticale comprendente la linea della base, un teodolite, dotato di cannocchiale sufficientemente potente per poter percepire e misurare quantità dell'ordine di 0″,5, corrispondenti, alla distanza massima di 160 m., a una misura lineare di circa o,4 mm. Sulla base delle indicazioni date dal teodolite si può collocare allora l'unità di misura adottata per le operazioni in modo da risultare allineata sulla linea di base, a meno di deviazioni minime, che nei casi estremi e con aste di circa 4 m. non potranno essere causa di errori maggiori di 0,0001 mm. Come punti di riferimento per eseguire l'allineamento vengono assunti: nell'apparato di Bessel lo spigolo verticale, che presenta anteriormente la spranga stessa; negli apparati del tipo di Ibáñez apposite mire, che vanno collocate al posto dei microscopî di misura; e per gli apparati di Jäderin le mire, che vengono sistemate sui punti mobili di riferimento.

Misura. - Tre sono gli elementi che concorrono a dare la misura: 1. La deviazione dalla rigorosa posizione di orizzontalità, nella quale si trova l'unità di misura; questa deviazione si determina mediante apposite livelle collocate sopra le spranghe, quando si operi con i due primi tipi di strumenti, o misurando con apposito livello a cannocchiale il dislivello reciproco dei punti di riferimento mobile quando si fa uso degli apparecchi di Jäderin. 2. La temperatura esatta alla quale si trova l'unità di misura, onde poter avere la lunghezza vera istantanea. Negli apparecchi a spranghe bimetalliche del tipo di Bessel si ricava indirettamente questo valore dall'ampiezza d'intervallo che presenta il cosiddetto termometro metallico, e che viene misurata mediante il cuneo di cristallo. Nei vecchi tipi di strumenti di Ibáñez a spranga bimetallica si ottiene questo elemento in modo indiretto dalla lettura fatta sulle scale graduate poste a un estremo della spranga stessa; nei più moderni invece, a spranga monometallica, si vince la difficoltà derivante dalla temperatura, o mantenendo l'asta a temperatura costante - p. es. immersa in un bagno d'acqua a 0° di temperatura -, ovvero adottando aste di metallo invar, che permette di limitarsi a cognizione approssimata della temperatura, in conseguenza del piccolissimo coefficiente di dilatazione termica posseduto da quella lega metalliea. Nel caso infine delle misure fatte con fili o nastri di invar, per le ragioni dette or ora, ci si accontenta di rilevare a brevi intervalli di tempo la temperatura dell'aria in cui si opera. 3. La vera e propria misura della lunghezza. Questa operazione viene eseguita in modo completamente distinto nei tre casi. Quando si fa uso dell'apparecchio di Bessel, le spranghe vengono disposte allineate una di seguito all'altra in guisa da lasciare un piccolo intervallo di spazio fra di loro; la lunghezza del tratto misurato risulta allora dalla somma delle lunghezze delle spranghe (generalmente anzi dalla somma del complesso delle quattro spranghe di cui si compone l'apparecchio, essendo consigliabile dare sempre al tratto da misurare una lunghezza, che risulti eguale a un multiplo di questo complesso, in modo che ogni singola spranga concorra nella misura complessiva un egual numero di volte) aumentata della somma degli intervalli lasciati fra spranga e spranga, che vengono misurati mediante i cunei di cristallo. Completamente diverso è il metodo di misura con gli apparecchi di Ibáñez. Lungo la linea della base in esatto allineamento vengono collocati a una distanza reciproca eguale alla lunghezza della spranga, che serve di unità di misura, dei microscopî verticali muniti di micrometro. Leggendo allora con i microscopî sulle scale graduate incise sugli estremi della spranga, si può avere la distanza precisa, che intercede fra di essi, onde poi basta sommare queste successive distanze.

Non molto diverso è il procedimento che si tiene con i fili o con i nastri di acciaio invar. Vengono prima collocati in rigoroso allineamento, e a distanza opportuna, i cosiddetti punti mobili di riferimento, che sono cilindretti metallici, portati verticalmente da appositi sostegni di legno, ed aventi incisa una linea di fede sulla loro faccia piana superiore. I fili portano alla lor volta alle estremità degl'ingrossamenti di forma prismatica a sezione triangolare; su una delle facce laterali di questi prismi è incisa una scaletta di 10 cm. di lunghezza, suddivisa in millimetri e numerata in guisa che fra numeri eguali corrisponda a filo teso una distanza di 24 o 25 m. esatti. Si determina allora la distanza, alla quale si trovano le linee di fede di due successivi punti mobili di riferimento, accostando a essi il filo, tenuto teso da pesi opportuni, e leggendo contemporaneamente sulle due scale le corrispondenti posizioni delle linee di fede. Ripetendo la misura 5 0 6 volte, in guisa da servirsi ciascuna volta di regioni diverse delle scalette, si ottengono facilmente valori aventi un'incertezza inferiore allo 0,1 di millimetro.

Riferimemo ai punti a terra. - Dipendendo da questa operazione la messa in valore del lavoro di misura, si richiede per essa la maggior cura e precisione. Tre sono ancora i metodi, essenzialmente diversi, che si usano, e, pur essendo applicabili indifferentemente a qualsiasi tipo di apparecchio, a seconda dei casi conviene far uso dell'uno piuttosto che dell'altro. Operando con l'apparecchio di Besseel, conviene distinguere due casi diversi, a seconda che il punto a terra corrisponde con grande approssimazione alla verticale abbassata dall'estremo di una spranga, o no. Nel primo caso si appende all'estremità della cassa contenente la spranga un piombino sostenuto da un filo sottilissimo di seta, in guisa che questo abbia ad adagiarsi sullo spigolo orizzontale della spranga. Sistemati allora dalle due parti della linea di base, alla distanza di circa 8 m., due teodoliti, in modo che il piano passante per i loro assi verticali riesca normale alla linea di base, e passi, a meno di qualche millimetro, per il punto a terra, si misura l'angolo formato dai piani verticali contenenti uno il punto a terra e l'altro il filo a piombo. Conoscendo la distanza esatta dei teodoliti dalla linea di base, si deduce in misura lineare lo scostamento della verticale eretta sul punto a terra in confronto di quella abbassata dall'estremo della spranga. Ove le distanze dei teodoliti dalla linea di base sieno di m. 8,25 si ha che a un arco di un secondo di ampiezza corrisponde uno scostamento lineare di 0,04 mm. Potendosi quindi eseguire con facilità misure di tal genere con errori inferiori a 0″,5, ne segue che, usufruendo del controllo di due teodoliti, si ottiene la riduzione al punto a terra con un errore dell'ordine di o,01 mm. o poco più.

Se il punto a terra non corrisponde invece alla verticale abbassata dall'estremo di una spranga, si fa uso del seguente espediente. Eseguite le operazioni normali di misura con la spranga, che viene a trovarsi al disopra del punto a terra, si sostituisce questa con una robusta pertica di legno stagionato, avente una lunghezza molto prossima a quella della spranga. La pertica porta alle sue estremità due linguette metalliche, scorrevoli fra due slitte disposte parallelamente all'asse della pertica stessa. Esse possono sporgere di là dagli estremi, e venire a trovarsi rigorosamente all'altezza stessa degli estremi delle due spranghe contigue. Collocata allora tale pertica al posto della spranga, si fanno scorrere le linguette fino ad andare a toccare gli estremi delle due spranghe, che la precedono e seguono, e si leggono sulle scale graduate esistenti lungo le slitte l'entità degli spostamenti fatti subire a ciascuna di esse. È ovvio che la distanza compresa fra gli zeri delle due scalette, aumentata degli scostamenti delle due linguette, dovrà risultare eguale appunto alla lunghezza istantanea della spranga sostituita dalla pertica di legno, aumentata degl'intervalli misurati con i cunei, e che quindi dalla conoscenza rigorosa di queste quantità sarà possibile risalire a quella della distanza incognita compresa fra gli zeri delle scalette. Fatto ciò, e sistemati ancora due teodoliti ai due lati della base, con le modalità descritte or ora, si pianta verticalmente sulla pertica di legno uno spillo sottile in guisa da trovarsi molto prossimo alla verticale elevantesi al di sopra del punto a terra; e si determina nel modo descritto più avanti la loro posizione reciproca. Misurata infine la distanza alla quale si trova lo spillo dai punti zero delle scalette, si hanno tutti gli elementi per ottenere col voluto rigore il riferimento delle lunghezze misurate al punto a terra.

Il secondo metodo, adottato generalmente con gli apparati del tipo Ibáñez, consiste essenzialmente nel sostituire l'abituale microscopio micrometrico con un cannocchiale, munito pure di micrometro, ma atto a rilevare il punto a terra. Il cannocchiale avendo una costruzione identica a quella dei microscopî, può esser collocato verticalmente, e rotare intorno all'asse verticale di figura. Riesce allora facile individuare e misurare, con la voluta precisione, quale sia lo scostamento che presenta la verticale individuata dall'asse del cannocchiale rispetto al punto a terra. E poiché l'asse del cannocchiale coincide con quello del microscopio, che aveva servito prima alle misure con la spranga, si comprende come riesca immediato il riferimento delle misure lineari ai punti a terra. Con questo metodo però si è costretti a far uso di due distinti strumenti, che venendo cambiati nel corso delle operazioni possono dare origine a dubbî sull'assoluta identità di posizione. Inoltre non va dimenticato che le misure vengono eseguite in modo diverso, in quanto mentre col microscopio ci si riferisce a scale graduate, nelle determinazioni eseguite col cannocchiale ci si riferisce invece a un punto o a un incrocio di linee, e che da questa diversità possono aver origine errori di natura sistematica.

Per evitare questi inconvenienti si ricorre a un espediente che deriva, come si vedrà, dal terzo metodo. S'incomincia anzitutto con l'individuare i punti a terra in modo diverso, assumendo quale punto di riferimento il vertice di un cono circolare retto incavato in un blocco di metallo, in modo che l'asse di rotazione risulti verticale. In questo cono va ad appoggiare l'estremità semisferica di un'asta cilindrica di metallo, che porta a una certa altezza, mediante un opportuno collare, una livella orizzontale, e all'estremità superiore, ad altezza eguale a quella alla quale si trovano le scale graduate della spranga di misura, una piastrina orizzontale portante incisa una scala millimetrata. Disposta allora l'asta esattamente verticale, e a ciò serve appunto la livella, diventa possibile individuare immediatamente lo scostamento che presenta la verticale eretta sul punto a terra in confronto di quella individuata dal microscopio, e di conseguenza ottenere pure il riferimento delle misure fatte mediante la spranga al punto a terra, senza che vi sia bisogno né di smuovere il microscopio, che è l'organo delicato di misura, né di usare diversità di metodi di misura. Nel caso delle misure fatte con i fili di acciaio basta dare all'estremità superiore dell'asta cilindrica, or ora accennata, lo stesso aspetto che hanno i cilindretti dei punti mobili di riferimento, per ottenere immediatamente il riferimento al punto a terra. Usando i fili è pur facile adottare il metodo serventesi dei teodoliti laterali: basta per ciò che il punto mobile di riferimento si trovi con una certa approssimazione sulla verticale del punto a terra. S'infila allora nel cilindretto una guaina metallica, entro la quale scorre un cilindro terminante con due coni retti aguzzi, in modo che mentre l'estremità superiore sporge al disopra della guaina, si possa pur vedere la punta inferiore, attraverso due finestre aperte da parti opposte nella guaina stessa, e assicurarsi che essa coincida con la linea di fede del punto mobile. È facile comprendere allora come puntando con i teodoliti laterali sui vertici dei conetti e sul punto a terra riesca immediato il riferimento desiderato.

Vantaggi e inconvenienti dei diversi tipi di apparecchi. - Dalle esperienze numerose fatte in tutti i paesi e nelle circostanze più varie è stato possibile ricavare in modo abbastanza sicuro quali sono i vantaggi e quali gli svantaggi proprî di questi tre tipi di apparecchi misuratoti. L'ordine di grandezza degli errori provenienti esclusivamente dalle operazioni di misura è press'a poco identico per tutti. Una leggiera superiorità si ha forse con gli apparecchi del tipo di Ibáñez, ma il vantaggio è, si può dire, pagato col maggior lavoro richiesto dalle misure, e quindi dal maggior tempo che vi si spende. Sensibilmente diversi sono invece gli errori che possono provenire dalla diversità delle unità di misura usate -spranghe, fili, nastri -; i meno sicuri sono i fili e i nastri, che spesso hanno manifestato variazioni di lunghezza improvvise e inesplicabili, mentre invece la spranga unica degli apparati di Ibáñez si presenta come la più attendibile. Nell'apparecchio di Bessel, che sotto molti punti di vista potrebbe sembrare trovarsi nel giusto mezzo (misure abbastanza sollecite, e sicurezza d'invariabilità dei mezzi di misura), si devono lamentare gl'inconvenienti del quadruplice lavoro di campionatura delle spranghe; l'essere più ingombrante e il richiedere di conseguenza una disponibilità di personale molto maggiore. In conclusione, si può dire che attualmente i tre tipi si equivalgono ma che, volendo misure della maggior precisione, possono essere considerati preferibili gli apparecchi a spranga, e in modo particolare quello di Ibáñez, ma che si può raggiungere una precisione sufficiente per tutte le ricerche anche più minuziose della geodesia con i fili ovvero con i nastri, ove però si abbia cura di tenerli sotto controllo continuo, campionandoli una o due volte al giorno su di un tratto, la cui lunghezza sia previamente assicurata da misure accuratamente eseguite con apparecchi a spranghe.

L'errore medio complessivo, che risulta dalle misure moderne di basi geodetiche, è di circa 1 mm. per ogni chilometro di base misurata. Nelle misure più recenti fatte con gli apparati di Bessel in Germania, si riuscì a far discendere tale errore a circa o,7 mm., raggiungendo nel caso della base di Berlino i 0,50 mm. Il generale Ibáñez ottenne col suo apparecchio un errore di soli 0,4 mm. per chilometro, e si rimase in generale al di sotto del millimetro in quasi tutte le misure fatte con questi apparecchi. Sorpassano invece di solito il millimetro gli errori trovati nelle misure fatte con i fili, ma tale errore va via via diminuendo di entità col perfezionarsi dei metodi di preparazione dei fili stessi, e con l'impiego più attento e accurato sul terreno. La velocità di misura che si raggiunge è naturalmente molto diversa; operando su un terreno preventivamente ben preparato e amndo a disposizione tutto il personale necessario per le diverse operazioni di cui consta la misura, si può calcolare che con gli apparecchi di Bessel si misurano tratti di 150-200 m. all'ora, raggiungendo in casi eccezionali persino la velocità media di 240.

Con gli apparecchi di Ibáñez la velocità si aggira sui 50 m., e solamente con personale particolarmente allenato si raggiunsero i 70 m. Il procedimento più rapido si ottiene con i fili: in America, usando fili di 50 m. di lunghezza, si giunse a misurare 1,81 km. all'ora, ma con un errore di 2,5 mm. per km. Misure più recenti eseguite in Finlandia hanno permesso di misurare circa 1300 m. all'ora, e di ottenere, ripetendo le misure con 5 fili diversi, un errore finale di circa 0,4 mm. per km.

Riduzione delle misure al livello del mare. - Ottenuta la misura della lunghezza effettiva della linea di base, è necessario, come già si è detto, riportarsi alla misura, che si sarebbe ottenuta se gli estremi e la linea stessa fossero stati al livello del mare. Indichiamo con b la lunghezza effettivamente misurata fra due punti A e B, relativamente vicini, della linea di base; se h è l'altezza media di quell'arco sul livello del mare, ed R il ragg'o di curvatura del geoide del punto centrale, si vede subito che per ottenere la lunghezza dell'arco di geoide compreso fra le verticali nei punti A e B, basterà diminuire la lunghezza misurata della quantità hb/R, onde la correzione per tutta la base sarà data da: − Σhb/R. Data poi la piccolezza di h rispetto ad R, e tenuto conto che la variazione di h è sempre molto piccola, si può considerare come costante il valore di h/R per tutti i tratti della base, e di conseguenza avere quale valore definitivo della correzione complessiva:

Sviluppo della base. - Si è già detto che la lunghezza delle basi geodetiche si aggira di solito fra i 4 e i 6 km.; solamente in casi eccezionali tocca o sorpassa i 10: la lunghezza invece dei lati delle triangolazioni geodetiche non scende mai al disotto dei 30. Le operazioni che permettono di passare dalla base misurata al lato effettivo della triangolazione costituiscono quella che si chiama la triangolazione di sviluppo. Essa consiste in una particolare serie di triangoli successivi, scelti in modo da presentare le condizioni più favorevoli per dar adito agli errori più piccoli e permettere di arrivare rapidamente alla conoscenza di lati sempre più lunghi, fino a giungere a quello prescelto per primo lato della triangolazione. La forma ideale, che dovrebbe avere la rete di sviluppo, sarebbe costituita da una serie di coppie di triangoli equilateri aventi in comune il lato di lunghezza nota, e tali da permettere la visibilità reciproca degli altri due vertici, e di conseguenza da poter arrivare alla conoscenza della distanza loro reciproca. Questa forma di sviluppo, mentre acconsente un rapido aumento nelle successive dimensioni dei lati cogniti, permette sufficienti controlli, per raggiungere la massima precisione. In pratica bisogna adattarsi alle condizioni che offre il terreno; in generale si cerca però di avvicinarsi quanto più è possibile a queste condizioni ideali, come si vede, p. es., nel caso rappresentato dalla fig. 3 (base geodetica di Udine).

Storia. - La prima base geodetica, che come tale possa esser considerata, fu quella misurata dall'olandese W. Snellius, quando nel 1615 iniziò la sua prima triangolazione. La base venne misurata nei pressi di Leida, e fu di circa 327,85 m. di lunghezza. Partendo da essa Snellius poté arrivare, con piccolo sviluppo, al primo lato della sua triangolazione, che aveva circa 4114 m. Subito dopo, nel 1633, l'inglese R. Norwood, volendo determinare la lunghezza dell'arco di meridiano terrestre fra Londra e York, ebbe a misurare la seconda base. Ma fu solo nella seconda metà del sec. XVII, quando furono iniziati in Francia i lavori di J. Picard, seguiti dalle numerose operazioni geodetiche iniziate da G. Cassini, che si resero necessarie le replicate misure di basi geodetiche. In generale si fece uso di pertiche di legno. Un progresso, ma non rilevante, segnarono le misure successive fatte nel Perù da G. M. de La Condamine (1735-41) che ebbe per primo la precauzione di controllare la lunghezza delle pertiche di legno con l'unità fondamentale, che aveva portata dalla Francia, e che era la famosa tesa del Perù. Per le geniali innovazioni introdotte nella tecnica delle misure vanno ricordati, come degni di speciale attenzione, i lavori quasi contemporanei fatti dagli scienziati italiani. Il padre G. B. Boscovich, avendo avuto da Benedetto XIV l'incarico di misurare la lunghezza dell'arco di meridiano compreso fra Roma e Rimini, misurò nel 1751 due basi nei pressi degli estremi (quello vicino a Roma lungo la Via Appia nei pressi della tomba di Cecilia Metella). In tale lavoro fece uso di pertiche di legno, che non ebbe però ad adagiare sul terreno, come fino allora si era fatto, ma su appositi cavalletti, cercando di renderle sensibilmente orizzontali servendosi di cunei di legno, e determinando il loro dislivello mediante una livella. Egli inoltre ritenne non dover portare le pertiche a contatto fra di loro, e preferì lasciarle a una breve distanza, e misurare invece l'intervallo mediante le punte di un compasso. Infine sottopose a ripetute campionature le pertiche, confrontandole con una spranga di ferro, che era la copia esatta della tesa normale degli Stati Pontifici, e che alla sua volta era stata confrontata con la tesa del Perù. Pochi anni più tardi (1760), il padre G.B. Beccaria ebbe a intraprendere la misura della base di Rivoli, nei pressi di Torino, quale fondamento alla determinazione dell'arco meridiano del Piemonte. Anche in queste operazioni si fece uso di pertiche di legno, e anche il Beccaria ebbe ad abbandonare il metodo pericoloso, usato fino allora, di portare le pertiche a contatto. Nella misura da lui fatta si collocavano le spranghe in guisa che le estremità venivano a trovarsi una di fianco all'altra, e le loro linee di fede riuscivano disposte secondo una normale alla linea di base da misurare. Nei due sistemi del Boscovich e del Beccaria sono contenuti evidentemente i principî essenziali, sui quali vennero creati più tardi gli apparecchi moderni del Bessel e di Ibáñez. Pochi anni dopo veniva fatto ancora un ulteriore progresso nella tecnica strumentale, e anche questa volta per opera di scienziati italiani: nel 1788 infatti Reggio, De Cesaris e B. Oriani, introducevano per primi le spranghe metalliche a T. Essi, tenendo conto dei coefficienti di dilatazione, e basandosi su misure frequenti della temperatura dell'aria, cercavano di ottenere il valore più rigoroso della lunghezza istantanea delle spranghe. Numerose furono le operazioni di misura, che si susseguirono in quegli anni presso tutti i paesi del mondo civile: nulla però di essenzialmente nuovo venne allora fatto, fatta eccezione per il tentativo del generale inglese W. Roy, che ebbe l'idea di sostituire le pertiche di legno e di metallo con tubi di vetro. Ma il piccolo aumento di precisione raggiunto in questa guisa non essendo sembrato sufficiente a compensare il maggior lavoro, e l'uso di tali apparecchi avendo rese necessarie particolari precauzioni, il metodo venne abbandonato.

Ma l'era nuova delle misure incomincia con la geniale introduzione degli apparecchi a spranghe bimetalliche dovuta al grande fisico francese J. C. Borda. Questi, per le misure francesi della fine del sec. XVIII, e del principio del XIX, ideò l'apparecchio costituito essenzialmente di due spranghe parallele e sovrapposte, delle quali l'inferiore era di platino e la superiore di rame. Per effetto dei diversi coefficienti di dilatazione termica dei due metalli, essendo rigidamente congiunte fra di loro le due spranghe a un estremo, gli estremi liberi si presentavano in posizioni sensibilmente diverse al variare della temperatura, onde facile era indurre dalla posizione reciproca degli estremi liberi la temperatura delle spranghe stesse. Si comprende allora come, possedendo questo dato essenziale, diventa possibile conoscere in ciascun istante la lunghezza reale istantanea delle aste metalliche di misura. Ma se con ciò il Borda riuscì a superare una grave difficoltà (la conoscenza esatta e continua della lunghezza dell'asta di misura), non seppe invece vincere quella di determinare in modo rigoroso l'intervallo lasciato fra spranga e spranga: è merito di Bessel aver superata questa seconda difficoltà in modo elegante e rigoroso. Con l'apparecchio costruito da G. von Reichenbach nel 1834, su precise indicazioni date dal Bessel, si ebbe finalmente un mezzo razionale e rapido, che permetteva non solo di misurare gl'intervalli fra spranga e spranga, ma anche di ottenere la differenza istantanea di lunghezza delle due aste componenti la spranga stessa, e quindi la temperatura e la lunghezza assoluta. Così si poté decuplicare la precisione delle misure e arrivare ai risultati ricordati più sopra. L'apparecchio di Bessel trovò ovunque immediata applicazione, e tutti i lavori geodetici eseguiti dal 1834 al 1860 nei diversi paesi del mondo, si fecero con l'aiuto di strumenti simili. Fu nel 1856 che il generale spagnolo Ibáñez, preoccupato dalla fonte di errori, che poteva derivare dalla molteplicità delle spranghe dell'apparecchio di Bessel, ideò il suo, che, costruito a Parigi dal Brunner, ebbe poi una serie di apparecchi similari, fra i quali quello dell'Istituto geodetico prussiano, che deve considerarsi come uno dei più perfetti. Ad essi si devono, come si è visto, i risultati più precisi fino a oggi raggiunti. La necessità di far progredire i lavori di rilievo trigonometrico con ritmo sempre più accelerato, estendendolo anche alle regioni più inospitali, e le molteplici difficoltà connesse all'uso degli apparecchi di Bessel o di Ibáñez, suggerirono al geodeta svedese Jäderin, verso il 1880, di sostituire alle aste metalliche dei fili, o dei nastri di acciaio, tenuti sospesi e in tensione mediante determinati pesi. Le frequenti variazioni di lunghezza dovute allo sforzo della tensione, e la difficoltà di seguire con esattezza la reale temperatura dei fili, e di conoscerne quindi la reale lunghezza, ostacolarono in sulle prime l'adozione del nuovo metodo. Ma scoperta verso il 1900 la lega di acciaio e nichelio, che per il piccolissimo coefficiente di dilatazione termico venne chiamata "invar" dai suoi scopritori J. R. Benoit e Ch. Ed. Guillaume, si perfezionò la tecnica della costruzione dei fili e dei nastri, e si arrivò a conseguire risultati tanto felici, da poter forse considerare chiusa l'epoca delle misure con gli apparati di Bessel o Ibáñez, che dovranno rimanere però sempre come apparati indispensabili per le campionature dei fili.

In Italia tutto il rilievo trigonometrico è stato fatto partendo da basi misurate con l'apparecchio di Bessel, che, costruito nel 1859 per l'Ufficio topografico militare di Napoli, venne poi a poco a poco sensibilmente migliorato, soprattutto nella parte destinata alla campionatura delle spranghe. Con esso vennero misurate le basi di Foggia (1859), Catania (1865), Crati (1871), Lecce (1872), Udine (1874), Somma (1878), Ozieri (1879) e Piombino (1895), ottenendo sempre risultati di notevole precisione.

Bibl.: Per la parte storica degli apparecchi: A. Westphal, Basisapparate, in Zeitschrift für Instrumentenkunde, V, p. 257 e VIII, p. 182; W. Jordan e O. Eggert, Handbuch der Vermessungskunde, III, 7ª ed., Stoccarda 1923; J. A. Repsold, Zur Geschichte der astronomischen Messwerkzeuge, Lipsia 1914-16, II; Catalogo generale descrittivo degli strumenti geodetici e topografici dell'Istituto geografico militare al 27 ottobre 1922, Firenze 1922.

Per ciò che riguarda il complesso delle operazioni: P. Pizzetti, Trattato di geodesia teoretica, Bologna 1905. Le pubblicazioni speciali dell'Istituto geografico militare di Firenze e della R. Commissione geodetica italiana (Pubblicazioni dell'Istituto topografico militare, parte 1ª, fasc. 1 e 2, Napoli 1875 e 1876; oltre a un terzo fascicolo non numerato del 1877; Pubblicazioni dell'Istituto geografico militare; Misura della base del Ticino; Misura della base di Ozieri, Firenze 1895; Misura della base di Piombino, Firenze 1896); Die Neumessung der Grundlinien bei Strehlen, Berlin und Bonn ausgeführt durch das geodätische Institut, Veröff. des k. preuss. geodätischen Institutes, Berlino 1897; Mitteilungen des k.u.k. militär geograph. Institutes, XXXI, pp. 63-102, Vienna 1912; Travaux astronomiques et géodésiques exécutés en Suisse, XI, Zurigo 1908; J.-R. Benoit e Ch.-Ed. Guillaume, Les nouveaux appareils pour la mesure rapide des bases géodésique, Parigi 1906. Infine i rapporti pubblicati sia dalle singole nazioni, sia dai diversi relatori generali nei Comptes rendus delle Conferenze dell'Association Géodésique Internationale (fino al 1914) e ora nei Travaux de la section de Géodésie de l'Union Géodésique et Géophysique internationale.