Calcolo

calcolo

Eseguire operazioni matematiche per risolvere un problema

La soluzione di alcuni quesiti si trova svolgendo un numero finito di operazioni matematiche. Partendo dai dati iniziali del problema è possibile ottenere il risultato finale applicando ben definite regole: si sviluppa così un calcolo che dà la soluzione del problema rispetto ai dati iniziali

Calcoli e sassolini

La parola italiana calcolo deriva dal latino calculus, che significa "sassolino". Gli antichi Greci e gli antichi Romani eseguivano operazioni con i numeri ‒ come l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione ‒ disponendo ordinatamente alcuni sassolini su una superficie piana. Per esempio, i numeri quadrati erano quelli ottenuti disponendo i sassolini in modo tale da formare quadrati. Come possiamo notare il quadrato con un lato formato da due sassolini è composto in tutto da quattro sassolini, mentre quello con il lato formato da tre sassolini è composto in tutto da nove sassolini. Procedendo otteniamo la successione dei numeri quadrati: 4, 9, 16, 25, 36 e così via.

Il termine numero quadrato è usato dai matematici ancora oggi; il termine numero triangolare, invece, oggi è piuttosto insolito e indica i numeri che si ottengono disponendo dei sassolini a forma di triangolo. Prima mettiamo un sassolino come vertice, poi due sassolini, poi tre, poi quattro, poi cinque e così via. Man mano che procediamo verso il basso, otteniamo dei triangoli sempre più grandi. Per sapere di quanti sassolini è composto il triangolo che ha base pari a cinque sassolini dobbiamo sommare 1+2+3+4+5. Ecco un calcolo semplice: 1+2+3+4+5=15. Anche per il triangolo che ha base pari a sei otteniamo senza sforzo la soluzione: 1+2+3+4+5+6=15+6=21.

Chi ha eseguito i primi calcoli? E per quale motivo?

È probabile che i primi uomini siano comparsi in Africa; ed è proprio verso l'Africa che dobbiamo guardare per scoprire le prime tracce di calcoli eseguiti da esseri umani. Sulle sponde del Lago Edoardo, che si trova in Africa centrale, è stato scoperto un osso intagliato più di 20.000 anni fa. Gli archeologi sono convinti che le tacche servissero per facilitare alcune operazioni con i numeri. Insomma, un uomo preistorico vissuto molto prima delle civiltà greca e romana usava un osso intagliato come una specie di calcolatrice tascabile. Ma alla domanda a che cosa servissero le operazioni con i numeri non è facile rispondere.

Si pensa che nelle civiltà più antiche i calcoli con i numeri servissero agli stregoni per scopi legati alla magia. Alcuni numeri erano considerati fortunati, altri sfortunati e lo stregone poteva prevedere il futuro basandosi proprio su di essi. Per esempio, in figura si vede uno stregone appartenente alla popolazione degli Ibo dell'Africa occidentale mentre lancia quattro conchiglie e conta quante ne cadono con l'apertura verso l'alto. Dopo un po' di lanci le combinazioni possibili aumentano e lo stregone deve essere un bravo matematico per riuscire nel suo compito. L'uso dei numeri per scopi magici persiste anche ai giorni nostri: ancora oggi in Italia molti considerano sfortunato il numero 17!

Un altro motivo che ha spinto l'uomo a inventare i calcoli con i numeri è il gioco. Effettivamente calcolare è un passatempo divertente. Quando giochiamo a carte ‒ per esempio a scopa ‒ ci divertiamo con i numeri, proprio come hanno sempre fatto i bambini e gli adulti in tutte le civiltà del mondo. Per esempio, il bao è un gioco molto diffuso in Tanzania. Sembra che sia uno dei giochi più complicati del mondo (addirittura più complicato degli scacchi!) proprio perché per vincere è necessario eseguire calcoli molto difficili.

Calcoli: dal cielo alla Terra

L'astronomia ‒ lo studio dei moti del Sole, della Luna, delle stelle e dei pianeti ‒ ha da sempre stimolato gli uomini nell'invenzione di nuovi calcoli. Sappiamo che in tutte le più antiche civiltà ‒ per fare alcuni esempi, quella dei Maya, degli Aztechi, degli Egizi al tempo dei faraoni, dei popoli della Mesopotamia, degli antichi Indiani e Cinesi ‒ esistevano astronomi in grado di prevedere i fenomeni del cielo. Uno dei loro compiti consisteva nell'elaborare un calendario, una divisione dell'anno che consente di prevedere il succedersi delle stagioni. Questa attività non era disgiunta dalla religione: infatti gli astronomi erano spesso anche sacerdoti. Un'eredità di questa antica tradizione sopravvive ancora oggi nel calcolo del giorno della Pasqua ebraica o cristiana, o del periodo del Ramadan musulmano. Per esempio, la Pasqua per i cristiani cade la prima domenica dopo la prima luna piena successiva al primo giorno di primavera.

Nelle antiche civiltà i calcoli con i numeri sono stati utili nel commercio e in altre attività legate alla costruzione, all'artigianato, all'allevamento e all'agricoltura. Per esempio, al mercato era necessario contare i prodotti venduti e le monete necessarie per acquistarli. I mercanti sono stati da sempre abili nel fare i conti. Tenere registrazioni accurate delle spese e dei guadagni ‒ per esempio, scrivendo su tavolette di argilla o su rotoli di papiro ‒ era un compito che spettava non solo ai mercanti, ma anche agli amministratori dei grandi regni dell'antichità. Abbiamo molte testimonianze della bravura matematica degli amministratori assiri, ebrei ed egizi.

Altri calcoli

Fino a ora abbiamo parlato di calcoli con i numeri, detti calcoli numerici. Ma è possibile calcolare anche con altri oggetti. Per esempio, quando si gioca a dama si calcolano le mosse delle proprie pedine e di quelle dell'avversario. Insomma: partendo da una condizione iniziale (la disposizione delle pedine sulla scacchiera) si prevedono le mosse che si possono fare eseguendo regole precise.

Si può quindi parlare di calcolo quando a partire da una condizione iniziale (i dati del problema) è possibile ottenere il risultato applicando ben definite regole di trasformazione. Spesso il compito di eseguire un calcolo può essere affidato a una macchina. Per esempio, ci sono computer che sono stati programmati per giocare a dama o a scacchi. Uno dei calcoli più importanti è il calcolo logico. La logica ci insegna come ricavare conseguenze a partire da premesse assegnate. Per esempio, concludiamo che "Socrate è un fifone" a partire dalle due premesse: "Tutti i filosofi sono fifoni" e "Socrate è un filosofo".

La scienza che studia come sia possibile ridurre a un calcolo la deduzione delle conclusioni a partire dalle premesse è la logica matematica. Il filosofo tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz, vissuto fra 17° e 18° secolo, pensava che tutti i ragionamenti potessero essere ridotti a calcoli simili a quelli numerici. Leibniz sperava addirittura che i disaccordi fra gli esseri umani potessero essere risolti applicando le regole di un calcolo logico ‒ che egli sperava di poter inventare ‒ e che chiamava caratteristica universale. Grazie a questo calcolo logico, due persone che non hanno le stesse idee avrebbero potuto risolvere la loro controversia e smettere di litigare sedendosi tranquillamente a un tavolino e 'calcolando' chi aveva ragione. Il sogno di Leibniz non si è avverato, ma gli scienziati sono stati in grado di inventare calcoli che ci permettono di ottenere molti utili risultati, come prevedere il tempo, organizzare la circolazione dei treni sulla rete ferroviaria o far funzionare a meraviglia i videogiochi.

Come scrivere i numeri

In figura si vede come gli Egizi scrivevano il numero 743. Gli antichi Romani, invece, avrebbero scritto DCCXLIII, cioè cinquecento (D), due centinaia (CC), cinquanta (L), a cui va sottratto dieci (X), e tre unità (III). La scrittura 743, intesa come "sette centinaia più quattro decine più tre unità", è frutto di una grande invenzione: la notazione posizionale in base dieci. I Cinesi e gli Indiani furono tra i primi ad adottarla. Essa permette di eseguire i calcoli in colonna, una grande semplificazione rispetto alle complicate regole che era necessario applicare per operare con i numeri scritti in notazioni non posizionali, come erano quella egizia o quella romana. La notazione posizionale in base dieci fu adottata dagli Arabi, che durante il Medioevo divennero grandi astronomi e matematici. Fu solo attorno al 1200 che gli Europei, per esempio i mercanti italiani, cominciarono a usare la notazione matematica degli Indiani e degli Arabi. Uno di questi mercanti si chiamava Fibonacci e ha dato non pochi contributi al calcolo.