VETTORIALE, CAMPO

VETTORIALE, CAMPO

. 1. La nozione astratta di campo vettoriale trae la sua origine da considerazioni fisiche. Un aspeuo particolare di quella nozione si ha nei campi di forza che hanno assunto notevole importanza nella fisica moderna. Tale è, ad es., una qualunque regione C dello spazio circostante alla Terra in cui si fa sentire su ogni corpo comunque piccolo l'azione della gravità (v., XVII, p. 769). Se si immagina di poter trasportare in una posizione qualunque di C un corpo che, rispetto alla Terra, si possa riguardare come un punto materiale, ad es., di massa unitaria, si riconosce che ad ogni punto P di C resta associata una ben determinata forza: il peso che agirebbe sul corpo qualora esso fosse collocato in P. Questo campo, se è abbastanza ristretto perché si possano trascurare le variazioni della direzione verticale ed altre ancora, è uniforme, esprimendo ciò che la forza del campo è costante in intensità e direzione da punto a punto. Più generalmente, un campo di forza risulta dall'associazione di una regione C dello spazio (occupata o no da materia) e di una distribuzione di forze: ad ogni punto P di C è applicata, in virtù di una qualunque legge fisica, una forza F ben determinata, quale è quella che si farebbe sentire sull'unità di massa collocata in P.

Ma non è necessario che ad ogni punto P di una regione C sia applicata una forza. In cinematica, ad una qualunque particella di un sistema continuo in movimento, si associano grandezze vettoriali ben determinate, quali la velocità, l'accelerazione, la rotazione, ecc. Si hanno così altrettanti esempi di campi vettoriali: un campo di velocità, di accelerazioni, di rotazioni (o vortici), ecc. (v. cinematica, X, p. 320).

2. Le considerazioni precedenti conducono alla seguente definizione. Un campo vettoriale risulta dall'associazione di una regione C, finita o infinita dello spazio (o dello spazio intero), e di una distribuzione di vettori: ad ogni punto P di C è applicato, in virtù di una qualsiasi legge, un vettore v ben determinato. Se v non varia da punto a punto in lunghezza e direzione, il campo dicesi uniforme.

Talvolta v rappresenta una grandezza fisica che dipende esplicitamente dal tempo t, nel senso che pur considerando uno stesso punto P di C, le determinazioni che competono a v in due diversi istanti t′, t′ sono tra loro differenti. In tal caso dicesi che il campo non è stazionario, convenendo di qualificarlo stazionario o permanente se v dipende solo da P (vettore puramente posizionale). Se la regione C si riferisce ad un sistema di assi cartesiani (ortogonali) ed x, y, z denotano le coordinate del generico punto P di C, la considerazione di un campo vettoriale equivale all'assegnazione di tre funzioni scalari X, Y, Z delle variabili x, y, z (ed anche del tempo t, quando il campo non è stazionario), le quali dànno le componenti del vettore v associato al punto x, y, z. In particolare, il campo dicesi piano se, essendo piana la C, i vettori v applicati ai singoli punti P di C, sono tutti complanari. In tal caso, il campo resta caratterizzato da due funzioni X, Y delle variabili x, y (ed eventualmente di t), se la C è riferita ad assi cartesiani sul piano di C.

Diconsi linee del campo le curve di C che in ogni loro punto sono tangenti alla determinazione locale di v.

Sotto certe condizioni per le funzioni X, Y, Z, si dimostra che esse sempre esistono ed anzi per ogni punto P di C passa una sola linea del campo, esclusi eventualmente certi punti singolari (che possono essere in numero finito o distribuiti lungo linee o superficie). La determinazione delle linee del campo è un problema d'integrazione di un sistema di equazioni differenziali del 1° ordine (o di una sola equazione del 1° ordine per i campi piani). Nella sua struttura simmetrica quel sistema è:

e i punti singolari sono le eventuali soluzioni in C delle equazioni (finite) X = Y = Z = O

Ha notevole importanza per lo studio dei campi vettoriali la quantità scalare infinitesima

che risulta moltiplicando scalarmente il vettore v del campo nel generico punto P di C per uno spostamento elementare arbitrario dP dello stesso punto d'applicazione P. È ciò che dicesi la circolazione o circuitazione elementare e che, nei campi di forza, è il lavoro della forza per quello spostamento.

Se ad ogni punto P di C si associa il vettore di componenti

che si denota spesso col simbolo rot v e dicesi la rotazione o il rotore di v, un notevole teorema, dovuto a G. Stokes, stabilisce che

dove Γ e σ rispettivamente una qualunque curva chiusa semplice e una qualunque superficie di contorno Γ (diaframma), priva di punti multipli, immerse in C; n è il vettore normale a σ orientato opportunamente e il vettore v soddisfa in C a certe condizioni di regolarità (v. vettore, XXXV, p. 278, nn. 9, 16). Cioè, la circolazione di v lungo Γ eguaglia il flusso della rotazione di v attraverso σ.

3. Sono particolarmente importanti per le applicazioni fisiche due tipi di campi che saranno qui definiti considerando regioni a tre dimensioni. L'eventuale dipendenza dal tempo va trattata a parte e qui non è essenziale contemplarla. Dicesi conservativo (o potenziale o lamellare) ogni campo il cui vettore v è il gradiente di una funzione scalare ϕ: v = grad ϕ, tale cioè che esiste una ϕ, le cui derivate parziali rispetto ad x, y, z sono le componenti X, Y, Z di v (v. gradiente, XVII, p. 619).

In tal caso dunque il campo è definito assegnando un'unica funzione ϕ che dicesi il potenziale del campo (o del vettore v). Si ha così che la circuitazione o circolazione elemenlare è il differenziale del potenziale dϕ = v × dP. La qualifica di conservativo deriva da considerazioni meccaniche relative a campi di forza ed in ogni caso risulta giustificata dalla seguente proprietà: la circolazione di v lungo una curva chiusa qualunque Γ, immersa in C e riducibile a un punto per deformazione continua (evitando le eventuali singolarità di v o regioni in cui v non è definito), è sempre nulla. Ciò risulta senz'altro dal teorema di Stokes, ove si noti che, per essere v × dP un differenziale esatto, il rot v è nullo in ogni punto P di C. Se la regione C non è a connessione lineare semplice, talché esistano in esso curve chiuse non riducibili a punti senza uscire dalla regione o senza evitare singolarità di v, la circolazione può non essere nulla. In meccanica razionale hanno un'importanza tutta speciale i campi di forza conservativi, ad es., un campo newtoniano, un campo di forze centrifughe, ecc. In idrodinamica, in un moto irrotazionale di un fluido, il campo delle velocità è conservativo (esistenza del potenziale di velocità) ed è allora anche tale il campo delle accelerazioni (ma non viceversa).

La qualifica di lamellare è dovuta a ciò che, in generale, per ogni punto P di C passa una sola superficie lungo la quale il potenziale è costante (superficie equipotenziale). Le linee del campo intersecano ad angolo retto le superficie equipotenziali. Nel campo della gravità, ad es., le verticali intersecano ad angolo retto i piani orizzontali, sui quali il potenziale è costante.

Si dimostra che le linee di un campo conservativo il cui potenziale è uniforme, cioè ad un solo valore, non possono essere curve chiuse.

4. Dicesi solenoidale ogni campo il cui vettore v sia la rotazione di un vettore w: cioè v = rot w. Il vettore w dicesi il potenziale vettore del campo e si ha:

La qualifica di solenoidale deriva da considerazioni idrodinamiche. Sia un liquido in moto regolare, cioè senza cavitazioni, né compenetrazioni nel campo del moto e si accetti lo schema euleriano per la trattazione matematica del problema del moto. All'istante generico t si consideri il campo delle velocità v. Si dimostra (v. idrodinamica XVIII, p. 735) che le ipotesi di regolarità del moto e della incomprimibilità del liquido si traducono nell'equazione div v = 0. Ebbene, si fissi l'attenzione su di un tubo di flusso, qual'è la superficie luogo delle linee del campo delle velocità che si appoggiano ad una qualunque curva chiusa (che non sia una linea del campo). Le particelle liquide che in quell'istante sono entro il tubo non attraversano la superficie laterale del tubo nel loro spostamento infinitamente piccolo che avviene in ogni tempuscolo dt successivo all'istante t. Le cose vanno dunque come se il liquido fluisse in un tubo materializzato. Ecco perché il campo dicesi solenoidale, dal greco σωλήν, canale.

5. Se un campo è conservativo e solenoidale, il potenziale σ del campo deve soddisfare all'equazione del Laplace

(V. equazioni, XIV, p. 139, n. 24; potenziale, XXVIII, p. 114, n. 4).