CARTOGRAFIA

CARTOGRAFIA (IX, p. 230)

Per il tracciamento del reticolato chilometrico sulle carte topografiche (v. in questa App.) si adopera generalmente la proiezione isogonica di Gauss, che può immaginarsi come una rappresentazione cilindrica inversa (ossia cilindro tangente a un meridiano; v. IX, p. 246, § 13b); la rappresentazione del corpo terrestre sulla carta viene realizzata mediante fusi meridiani di 3° o di 6° in longitudine, più iaramente in fusi di 2° o di 4°. Ogni fuso viene rappresentato sul cilindro tangente al meridiano centrale. Il reticolato geografico di questa rappresentazione è riportato nella fig. 1. L'Italia, la Russia, la Gemania e l'Egitto hanno già adottato fusi di 6°; l'Inghilterra, la Finlandia, il Portogallo, la Iugoslavia, la Bulgaria e il Congo belga hanno invece adottato fusi di 3°; fusi di 2° hanno adottato la Polonia, la Svezia, la Norvegia, il Kenya e l'Unione Sudafricana; infine fusi di 4° hanno adottato la Norvegia e la Nigeria.

Le formule di passaggio dalle coordinate geografiche terrestri a quelle piane ortogonali della carta (riferite all'asse x lungo il meridiano centrale del fuso considerato e delle y lungo l'equatore), nelle forme date da G. Boaga nel 1941, e utilizzate dall'I.G.M., applicabili fino a fusi di 6°, sono:

con B lunghezza del meridiano centrale del fuso dall'equatore alla latitudine ϕ del punto A che si considera (fig. 2), λ″ longitudine espressa in secondi sessagesimali del punto A rispetto al meridiano centrale del fuso.

con N gran normale ellissoidica (v. XVI, pag. 594) alla latitudine ϕ e

dove:

μ, modulo di conversione dei logaritmi naturali in logaritmi decimali, e′ eccentricità ellissoidica aggiunta, definita dal rapporto

con a, b semidiametri equatoriale e polare dell'ellissoide terrestre.

La rappresentazione essendo isogonica conserva gli angoli, ma non le distanze e le aree. Il modulo di deformazione lineare (n) è dato dalla:

con λ espresso in radianti; ed 1n coordinate cartesiane, per un elemento segmentario finito di coordinate estreme x₁, y₂; x₁, y₂, dalla:

Il modulo di deformazione superficiale è dato dal quadrato del modulo di deformazione lineare.

La convergenza dei meridiani (γ) si trae dalla:

Una geodetica ellissoidica di estremi 1′, 2′ viene rappresentata sulla carta mediante un arco di curva 1′, 2′. La corda rettilinea 1′ 2′ che unisce gli estremi della rappresentazione piana della geodetica (fig. 3), determina con essa in 1′ e 2′ due angoli ε₁₂, ε₁₂ denominati variazioni angolari e definiti dalle:

ed altra analoga per e2″₁ scambiando l'indice 1 con l'indice 2 e reciprocamente, e dove ρ ed N rappresentano i raggi principali di curvatura ellissoidici (v. geodesia, XVI, p. 589) calcolati alla latitudine media (ϕ₁ + ϕ₂) : 2.

La convergenza Γ dei meridiani passanti per gli estremi1,2 della geodetica è data dalla:

con significazione nota dei simboli usati.

Per le carte di nuova costruzione vengono attualmente impiegate esclusivamente le coordinate piane ortogonali, anziché quelle geografiche provenienti dai calcoli geodetici e dalle misurazioni astronomiche; gli istituti geografici dei varî paesi già rendono pubbliche le coordinate piane (anziché quelle geografiche, come hanno fatto finora) per i vertici delle varie reti trigonometriche. Questi nuovi orientamenti della cartografia attuale, cioè reticolato chilometrico, pubblicazioni delle coordinate piane dei vertici trigonometrici, ecc., segnano una svolta decisiva nella geodesia teoretica in quanto tutti i problemi di carattere geometrico-geodetico, come risoluzione dei triangoli geodetici, determinazione di distanze e di azimut, trasporto di coordinate, compensazioni e calcoli di reti geodetiche, vengono a dipendere dalle risoluzioni di triangoli piani curvilinei, e questi (come hanno dimostrato T. Levi-Civita, A. Tonolo, C. Morelli, G. Boaga) da triangoli piani rettilinei. È interessante poi il fatto che, a meno di termini del quinto ordine (per i quali è valevole il classico teorema di Legendre sulla risoluzione del triangolo geodetico ellissoidico mediante l'impiego dell'eccesso sferico), il triangolo piano definito dalle corde rettilinee corrispondenti ai tre archi delle trasformate piane delle geodetiche limitanti un triangolo geodetico ellissoidico è equivalente al triangolo geodetico ellissoidico. Tale constatazione è della massima importanza per la costruzionedelle mappe catastali con questa proiezione; esse, come è noto, sono generalmente costruite con rappresentazioni equivalenti (o afilattiche con piccoli moduli di deformazione superficiale), onde mantenere l'equivalenza delle superficie.

Pur limitando gli sviluppi ai termini sopra riportati, i procedimenti sono applicabili ai più grandi triangoli geodetici fino ad oggi considerati. In particolare, se una geodetica è definita mediante le coordinate geografiche degli estremi, con le [1] è possibile determinare le coordinate piane degli estremi della rappresentazione conforme della geodetica sul piano. Con queste coordinate e, per es., col teorema di Pitagora è possibile determinare la lunghezza L della corda rettilinea che unisce detti estremi 1′ e 2′ (fig. 3), indi, calcolando l'importo del modulo di deformazione lineare con la [3], la lunghezza dell'arco di geodetica ellissoidica è data dal rapporto L/n, in quanto si dimostra che la lunghezza della trasformata piana della geodetica e della corrispondente corda rettilinea è trascurabile. Con la formula [4] applicata al vertice 1 si ha la possibilità di avere il valore della convergenza del meridiano passante per 1, e con la prima delle [5] quello della riduzione angolare. L'azimut ellissoidico della geodetica in 1 è, con ciò, a₁₂ + γ₁ − ε₁₂, con a₁₂ definito dalla tang a₁₂ = (y₂ − y₁) (x₂ − x₁) angolo di direzione della corda 1′2′. Rimane così risolto, attraverso le coordiuate piane, il fondamentale problema geodetico della determinazione dell'azimut e della lunghezza di un arco di geodetica assegnata mediante le coordinate geografiche ellissoidiche degli estremi. Questi moderni procedimenti di calcolo sono attualmente in uso presso l'Istituto geografico militare e l'amministrazione del catasto italiano. La costruzione della mappa catastale si fa attualmente mediante la rappresentazione di Gauss-Boaga, la quale dà per i moduli di deformazione superficiale contributi così piccoli, che la carta si può ritenere, con sufficiente approssimazione, anche come equivalente.

Per rendere più celeri e, quindi, più economici i calcoli riferentisi alle triangolazioni, con i procedimenti accennati, l'Istituto geografico militare di Firenze ha costruito e pubblicato opportune tavole numeriche. L'impiego di queste tavole riduce in definitiva tutti i sopra ricordati problemi geodetico-geometrici a dei semplici problemi di interpolazione.

I procedimenti descritti per la rappresentazione conforme di Gauss, sono applicabili a qualunque altra rappresentazione conforme.

Bibl.: Numerosi studî su questi argomenti dovuti a G. Boaga, M. Menestrina, C. Morelli, C. Trombetti, F. Albani si trovano nella rivista L'Universo dell'I.G.M., 1941-1948. Si veda anche: I.G.M., La proiezione conforme di Gauss, Firenze 1941 e 1943; G. Boaga, Sulla risoluzione dei triangoli geodetici e ellissoidici attraverso la loro rappresentazione piana conforme, in Atti Acc. d'It., Memorie, n. 30, 1944; id., Trattato di geodesia e topografia, Padova 1948.