Hilbert, David
Hilbert, David
Un matematico attento ai fondamenti
Il tedesco David Hilbert è stato una figura chiave del pensiero matematico del primo Novecento. Ha contribuito in modo sostanziale alla discussione sui fondamenti (i principi di base) della geometria euclidea e ha costruito un sistema di assiomi che definiscono in modo implicito le nozioni di punto, retta e piano e alcune altre relazioni, assunte come concetti primitivi
Una lista di 23 problemi
David Hilbert, vissuto tra la fine dell'Ottocento e la prima parte del Novecento, è stato una delle menti più brillanti della matematica. Nato a Königsberg nel 1862 e morto a Gottinga nel 1943, è considerato una delle ultime figure in grado di padroneggiare i diversi campi della matematica del suo tempo, ai quali ha dato contributi notevoli. Molto celebre è la lista di 23 problemi aperti che egli propose in occasione del Congresso di matematica di Parigi del 1900 e che hanno costituito, come stimolo e sfida, alcune delle principali linee di sviluppo del pensiero matematico nel corso del 20° secolo.
Tra i suoi numerosi contributi risultano di particolare rilevanza quelli riguardanti i principi base della geometria, tema cui sono dedicati i suoi celebri Fondamenti della geometria del 1899, un'opera in cui Hilbert riorganizzava i principi della geometria euclidea.
A proposito di assiomi
Supponete che vi si chieda di descrivere cosa è un segmento. Potreste dire, per esempio, che si tratta dell'insieme formato da due punti su una retta e dai punti tra essi compresi.
Questa descrizione di un segmento, come ogni definizione, tende a illustrare qualcosa nei termini di qualcos'altro, cioè servendosi di altre nozioni. È chiaro che se non sappiamo che cosa vogliono dire le parole punto o retta la definizione non ha alcun senso.
Nel descrivere qualcosa riferendosi a qualcos'altro bisogna stare attenti a non dare nulla per scontato. Per esempio, nella precedente definizione si parla di punti che sono compresi, cioè che stanno tra altri punti su una retta. Intuitivamente l'idea è chiara, ma siamo sicuri di avere della nozione stare tra una definizione precisa che eviti ogni ambiguità?
Come nel classico 'gioco dei perché', esistono moltissime domande di questo tipo e rimane sempre aperta la 'pericolosa' possibilità di nozioni diverse che si definiscono reciprocamente, per cui l'una rimanda all'altra, dando così luogo a percorsi circolari alla cui conclusione non si è di fatto definito nulla.
Come risultò chiaro già ai Greci nell'antichità, un modo per uscire da questa difficoltà è di introdurre certi termini senza definizione ‒ indicati appunto come termini primitivi ‒ e descriverli in modo preliminare, mediante certe loro proprietà di base che in epoca moderna vengono dette assiomi.
Un problema di fondamenti
La scelta di un certo insieme di termini primitivi e dei relativi assiomi conduce alla costruzione di un sistema assiomatico. Quello proposto da Hilbert nei suoi Fondamenti della geometria è una delle più celebri fondazioni assiomatiche moderne della geometria euclidea dello spazio. In esso svolgono la funzione di termini primitivi le nozioni di punto, retta, piano e altre relative alle relazioni giacere, stare tra ed essere congruente; a queste nozioni sono poi associati cinque gruppi di assiomi che definiscono in modo implicito tali termini. L'idea è che i termini primitivi e gli assiomi scelti sono le fondamenta su cui è possibile basare (cioè da cui è possibile ottenere) le varie proprietà della geometria elementare dello spazio.
Bisogna osservare che questo sistema assiomatico per la geometria elementare non è l'unico possibile. Altre assiomatizzazioni sono state proposte, mediante una diversa scelta dei termini primitivi e dei relativi assiomi.
Più in generale, queste tematiche di carattere fondazionale (così dette perché attinenti ai concetti di base su cui si costruisce la matematica) hanno interessato anche altri rami del pensiero moderno relativi a questa disciplina. I principi del metodo assiomatico sono stati applicati in modo sistematico sia per impostare vari settori della matematica durante il 20° secolo sia come procedura per esporre i principi di una certa teoria.