CODAZZI, Delfino

CODAZZI, Delfino

Nacque a Lodi il 7 marzo 1824 da Domenico. Fu dapprima professore di scienze naturali e matematica presso il liceo ginnasio di Lodi, in seguito si trasferì a Pavia ad insegnare matematica presso il liceo di quella città. Questo periodo fu molto importante e fecondo per il C.: fu infatti in quegli anni che egli approfondì i suoi studi di geometria e nel 1859 inviò ad un concorso, bandito dall'Accademia delle scienze di Parigi, una memoria in cui dava condizioni necessarie e sufficienti per la applicabilità di una superficie su un'altra. In questo scritto si trovano le famose formule, fondamentali per la geometria differenziale della superficie, note come "formule di Mainardi-Codazzi" (il Mainardi pervenne indipendentemente dal C. allo stesso risultato); si tratta di due relazioni fra i coefficienti della prima e della seconda forma quadratica di una superficie; insieme a un'equazione già assegnata da Gauss, forniscono appunto le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di una superficie che ammetta due date forme quadratiche.

Il C. fu premiato per tale memoria nel 1861 dall'Accademia stessa, insieme con gli scienziati J.-E.-E. Bour e O. Bonnet che avevano fornito una versione di carattere geometrico dei risultati cui era pervenuto il C. per via analitica (cfr. Correspondance, in Comptes-Rendus des séances de l'Académie des sciences, LII [1861], p. 705).

Segnalatosi ormai per i suoi studi, il C. fu chiamato, nel 1865, presso l'università di Pavia che gli offrì una cattedra di algebra e geometria analitica. Tale incarico, che egli ricoprì fino alla morte, gli permise di dedicarsi con maggiore tranquillità agli studi di teoria delle coordinate curvilinee di una superficie.

Il C. morì a Pavia il 21 agosto 1873.

In Sulle coordinate curvilinee d'una superficie e dello spazio,Memoria I, in Ann. di matem. pura ed appl., s. 2, I (1867), pp. 293-316, il C. si propone di estendere risultati noti, relativi al caso di sistemi di linee su di una superficie secantesi secondo un angolo retto, al caso di sistemi di linee su di una superficie secantesi secondo un angolo arbitrario, affrontando il problema della determinazione di formule che assegnino un sistema di coordinate non ortogonali nello spazio. Tale sistema è ottenuto tramite l'intersezione di tre superfici secondo angoli arbitrari. Risulta inoltre che parecchie formule relative a quest'ultimo caso possono essere riguardate come un'estensione di quelle relative al primo. La memoria si divide in due parti: nella prima viene determinata una legge di trasformazione di grandezze significative e cioè il laplaciano delle tre coordinate curvilinee ottenute per l'intersezione di tre famiglie ad un parametro di superficie, in funzione delle coordinate cartesiane ortogonali; ovviamente queste formule si riducono a quelle note nel caso in cui i sistemi di superficie siano ortogonali fra loro. Nella seconda parte i risultati ottenuti vengono impiegati nello studio del seguente problema: assegnato ad un istante fissato un sistema di linee isotermiche all'interno di un solido omogeneo indefinito, determinarne l'evoluzione temporale. La soluzione è conseguita attraverso un passo intermedio, più precisamente il C. in questa memoria si limita a determinare le proprietà geometriche di cui deve godere un sistema di linee isotermiche, esprimendo in termini di equazioni differenziali tali condizioni; naturalmente tali equazioni si ottengono a partire dai risultati ottenuti nella prima parte della memoria.

Sulle coordinate curvilinee di una superficie e dello spazio,Memoria II,ibid., s. 2, II (1868), pp. 101-119, è divisa in due parti: nella prima si stabiliscono le diverse relazioni lineari fra le seguenti dodici rette: le tre normali alle superficie (λ), (μ) e (ν) (sono le tre famiglie di superficie parametrizzate con λ, μ, ν e non necessariamente ortogonali fra loro), le tre tangenti di coseni direttori i_λ, i_μ, i_τ, le tre normali principali, di coseni direttori i´_λ, i´_μ, i´_ν, e le binormali di coseni direttori i´´_λ, i´´_μ, i´´_ν rispettivamente alle linee di intersezione fra (y), (m), (v) (λ, μ), (μ, ν) e (ν, λ).

Nella seconda parte, denotati con l´ ed l´´ l'inverso del raggio di curvatura e l'inverso del raggio di torsione della linea (μ, ν) - intersezione delle superficie (μ) e (ν) -, con m´ ed m´´, n´ ed n´´ quantità analoghe corrispondenti alle linee (λ, ν) e (λ, μ), ed infine con ωλ e ω´λ gli angoli formati dalla normale principale alla linea (μ, ν) con le normali alle superficie (μ) e (ν) e con ελ l'angolo compreso fra le intersezioni (ν, λ) e (λ, μ) (analoghe definizioni valgono per le grandezze con apici μe ν), il C., a partire dalle formule di Frenet, è interessato a stabilire le equazioni che legano fra loro le nove quantità m ed n, rispettivamente derivate rispetto ai parametri λ, μ, νdegli archi ottenuti dalle intersezioni delle superficie (μ, ν), (ν, λ), (λ, μ).

Il C. ottiene in definitiva sei equazioni, una delle quali finita, quattro alle derivate parziali del primo ordine, una alle derivate parziali del secondo ordine. Tali equazioni si riducono a quattro, una finita, due alle derivate parziali del primo ordine, una alle derivate parziali del secondo ordine. Dal risultato generale seguono, nel caso particolare in cui le linee (λ, μ) e (ν, λ) costituiscano un sistema ortogonale, le equazioni impiegate precedentemente dal C. stesso per trattare la questione delle superfici applicabili (nella memoria inviata a concorso all'Accademia delle scienze di Parigi).

Tali formule, va ricordato, furono pubblicate e ridimostrate da O. Bonnet con un procedimento di tipo geometrico. Si possono trovare nella Note sur la théorie de la déformation des surfaces gauches nei Comptes-Rendus del 16 nov. 1863 (cfr. Comptes-Rendus des séances de l'Académie des sciences LVII [1863], pp. 805-13).

Sulle coordinate curvilinee di una superficie e dello spazio,Memoria III, in Ann. di mat. pura ed applicata, s. 2, II (1868), pp. 269-287 è una memoria divisa anch'essa in due parti che prosegue la ricerca a partire dai risultati enunciati nella memoria precedente. Più precisamente nella prima parte si riducono le sei equazioni della seconda memoria a tre soltanto nelle seguenti incognite: m, n, ελ, due raggi di curvatura della superficie (λ), l'angolo formato dalla intersezione (ν, λ) con una delle due linee di curvatura.

Nella seconda parte della memoria si stabiliscono in primo luogo le equazioni che permettono di esprimere i sei raggi coordinati r e ρ delle superficie coordinate e i tre relativi angoli ϑ in funzione delle grandezze l, m, n, ελ, εμ, εν e loro derivate; in secondo luogo si stabiliscono nuove equazioni per queste ultime quantità. Vengono inoltre fatti confronti con i risultati riportati dal Lamé nel caso particolare di superfici ortogonali fra loro.

In Sulle coordinate curvilinee di una superficie e dello spazio,Memoria IV,ibid., s. 2, IV (1870), pp. 10-24, si esaminano i risultati ottenuti nella Théorie des coordonnées courvilignes quelconques di L. S. Aoust pubblicati in Ann. di mat. pura ed appl. s. 1, VI (1864), pp. 65-87.

Osserva l'Aoust che "è impossibile trattare con metodo analitico, quello seguito da Lamé per il problema di coordinate curvilinee ortogonali, il problema generale di coordinate curvilinee qualunque, perchè in questa ultima evenienza, sempre che si impieghi il metodo analitico, entrano nelle equazioni trenta grandezze che non esistono nel sistema ortogonale ... le difficoltà analitiche impongono la necessità di rinunciare alla linea tracciata dall'autore della teoria delle coordinate ortogonali". Il metodo seguito dall'Aoust è geometrico piuttosto che analitico e poggia sulla considerazione di un nuovo elemento da lui introdotto: la curvatura inclinata. Il C. si propone di esprimere, in questo lavoro, le componenti oblique della curvatura ordinaria delle tre linee coordinate (λ, μ) (μ, ν) e (ν, λ) e quelle della curvatura inclinata per il tramite della quantità l, m, n, ε_λ, ε_μ, ε_ν e delle loro derivate prime.

Si tratta in totale di ventisette equazioni, dodici finite e quindici differenziali.

In Sulle coordinate curvilinee di una superficie e dello spazio,Memoria V,ibid., s. 2, V (1871-74), pp. 206-222, il C. ritorna sul problema relativo al sistema di certe linee isotermiche interne ad un corpo solido omogeneo indefinito, problema già trattato nella Memoria I. Con una speciale determinazione del sistema (λ) il C. stabilisce che le linee (λ, μ) risultano geodetiche della superficie (μ) rispetto alla distanza dsμ² = l² dλ² + n² dν². Tali linee sono determinate come ortogonali alle linee isotermiche (μ, ν).

Risulta dunque nota sia la natura geometrica delle linee isetermiche, sia la natura del loro sistema. Più precisamente, utilizzando risultati ottenuti nelle due prime memorie, il C. stabilisce che una isotermica qualunque è un'elica tracciata su un cilindro retto a base circolare ed inoltre determina esplicitamente le equazioni delle superfici descritte da queste linee.

Fonti e Bibl.: E. Beltrami, C. D., in Memorie e documenti per la storia dell'Università di Pavia, I, Pavia 1878, p. 459; W. W. Rouse Ball, Compendio di storia delle matematiche, II, Bologna 1927, p. 384; U. Amaldi, C. D., in Enciclopedia Italiana. Appendice I, Roma 1938, p. 438; F. Tricomi, Matematici italiani del primo secolo dello Stato unitario, in Memorie dell'Accad. delle scienze di Torino, cl. di sc. mat., fis. e nat., s. 4, I (1962), 1, p. 37; J. C. Poggendorff, Biogr.-liter. Handwört. zur Gesch. der ex. Wissensch., III, p. 287, Enc. ital., App. I, p. 438.