Gateaux, derivata di

Gateaux, derivata di

Gâteaux, derivata di concetto che generalizza quello di derivata direzionale in Rⁿ. Si parla di derivata di Gâteau di un funzionale F(x) in uno spazio vettoriale topologico X nei seguenti termini: preso un vettore y ≠ 0, la derivata di Gâteaux di F nella direzione di y è data dal limite, qualora esista, così espresso:

(La divisione per ‖y‖ è inutile quando si debba annullare la derivata di Gâteaux come condizione necessaria per la stazionarietà del funzionale). Se F(x) è derivabile secondo Fréchet, con derivata A, lo è anche secondo Gâteaux e la derivata secondo Gâteaux vale

L’inverso non vale già per spazi di dimensione finita. La derivata di Gâteaux è anche detta derivata debole, mentre si riserva il nome di derivata forte alla derivata di Fréchet.